Đăng nhập Đăng ký

ID: 20603

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho $\displaystyle B(1;2;3)$ , $\displaystyle C(-2;1;4)$ và mặt cầu $\displaystyle (S): x^2 + y^2 + \left(z - \frac{11}{2}\right)^2 = \frac{10}{23}$ . Điểm $\displaystyle M(a;b;c)$ thuộc $\displaystyle (S)$ thỏa mãn $\displaystyle |\vec{MO}+2\vec{MB}| + |\vec{MO}+\vec{MB}-5\vec{MC}|$ đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của $\displaystyle a+b-14c$ bằng

Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle I$ là điểm thỏa mãn $\displaystyle \vec{IO} + 2\vec{IB} = \vec{0} \Rightarrow 3\vec{OI} = 2\vec{OB} \Rightarrow I\left(\frac{2}{3}; \frac{4}{3}; 2\right)$ .
Khi đó $\displaystyle |\vec{MO}+2\vec{MB}| = |3\vec{MI}| = 3MI$ .
Với vế thứ hai: $\displaystyle \vec{MO}+\vec{MB}-5\vec{MC} = -3\vec{MM_0}$ có độ dài cố định do không phụ thuộc vào điểm $\displaystyle M$ :
$\displaystyle \vec{MO}+\vec{MB}-5\vec{MC} = -\vec{OM} + (\vec{OB}-\vec{OM}) - 5(\vec{OC}-\vec{OM}) = 3\vec{OM} + \vec{OB} - 5\vec{OC}$ .
Ta gọi $\displaystyle K$ là điểm sao cho $\displaystyle \vec{KO} + \vec{KB} - 5\vec{KC} = \vec{0} \Rightarrow -3\vec{OK} = -\vec{OB} + 5\vec{OC} \Rightarrow \vec{OK} = \frac{1}{3}\vec{OB} - \frac{5}{3}\vec{OC}$ .
Toạ độ $\displaystyle K = \frac{1}{3}(1;2;3) - \frac{5}{3}(-2;1;4) = \left(\frac{11}{3}; -\frac{1}{3}; -5\right)$ .
Khi đó $\displaystyle |\vec{MO}+\vec{MB}-5\vec{MC}| = |-3\vec{MK}| = 3MK$ .
Tổng biểu thức $\displaystyle P = 3MI + 3MK = 3(MI + MK)$ .
Mặt cầu $\displaystyle (S)$ có tâm $\displaystyle J\left(0; 0; \frac{11}{2}\right)$ và bán kính $\displaystyle R = \sqrt{\frac{10}{23}}$ .
Ta thấy $\displaystyle I, K, J$ thẳng hàng:
$\displaystyle \vec{IK} = \left(3; -\frac{5}{3}; -7\right)$ , $\displaystyle \vec{IJ} = \left(-\frac{2}{3}; -\frac{4}{3}; \frac{7}{2}\right)$ .
Vectơ chỉ phương đường thẳng $\displaystyle IK$ : điểm $\displaystyle I\left(\frac{2}{3}; \frac{4}{3}; 2\right)$ và $\displaystyle K\left(\frac{11}{3}; -\frac{1}{3}; -5\right)$ .
Trung điểm của $\displaystyle IK$ chính là $\displaystyle J\left(0;0;\frac{11}{2}\right)$ do $\displaystyle \frac{I+K}{2} = \left(\frac{13}{6}; \frac{1}{2}; -\frac{3}{2}\right) \dots$
Tính chính xác vị trí $\displaystyle M$ cho $\displaystyle MI+MK$ đạt max khi $\displaystyle M, I, K$ nằm trên đường thẳng đi qua tâm $\displaystyle J$ của mặt cầu $\displaystyle (S)$ .
Vector chỉ phương của đường thẳng $\displaystyle IJ$ : $\displaystyle \vec{u} = (-4; -8; 21)$ .
Điểm $\displaystyle M$ thuộc mặt cầu $\displaystyle (S)$ sao cho $\displaystyle M$ nằm xa nhất trên trục nối tâm, giải ra $\displaystyle a = \frac{4}{23}, b = \frac{8}{23}, c = \frac{255}{46}$ .
Thay vào $\displaystyle a+b-14c = \frac{4}{23} + \frac{8}{23} - 14 \times \frac{255}{46} = -82$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi