Đăng nhập Đăng ký

ID: 20604

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho $\displaystyle A(-1;3;5)$ , $\displaystyle B(2;6;-1)$ , $\displaystyle C(-4;-12;5)$ và $\displaystyle (P): x+2y-2z-5=0$ . Gọi $\displaystyle M$ là điểm thuộc $\displaystyle (P)$ sao cho $\displaystyle |\vec{MA}-4\vec{MB}| + |\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Cao độ của điểm $\displaystyle M$ bằng

Giải thích đáp án:
- Xét biểu thức $\displaystyle T_1 = |\vec{MA}-4\vec{MB}|$ :
Gọi $\displaystyle I$ là điểm thỏa mãn $\displaystyle \vec{IA} - 4\vec{IB} = \vec{0} \Rightarrow \vec{OI} = \frac{\vec{OA} - 4\vec{OB}}{-3}$ .
$\displaystyle x_I = \frac{-1 - 4(2)}{-3} = 3$
$\displaystyle y_I = \frac{3 - 4(6)}{-3} = 7$
$\displaystyle z_I = \frac{5 - 4(-1)}{-3} = -3 \Rightarrow I(3;7;-3)$ .
Khi đó $\displaystyle |\vec{MA}-4\vec{MB}| = |-3\vec{MI}| = 3MI$ .
- Xét biểu thức $\displaystyle T_2 = |\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|$ :
Gọi $\displaystyle G$ là trọng tâm $\displaystyle \Delta ABC$ :
$\displaystyle x_G = \frac{-1 + 2 - 4}{3} = -1$
$\displaystyle y_G = \frac{3 + 6 - 12}{3} = -1$
$\displaystyle z_G = \frac{5 - 1 + 5}{3} = 3 \Rightarrow G(-1;-1;3)$ .
Khi đó $\displaystyle |\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}| = |3\vec{MG}| = 3MG$ .
Biểu thức cần thu gọn: $\displaystyle P = 3MI + 3MG = 3(MI + MG)$ .
$\displaystyle P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\displaystyle M$ là giao điểm của đoạn thẳng $\displaystyle IG$ với mặt phẳng $\displaystyle (P)$ (nếu $\displaystyle I$ và $\displaystyle G$ nằm về hai phía so với $\displaystyle (P)$ ).
Thử vị trí tương đối của $\displaystyle I$ và $\displaystyle G$ đối với $\displaystyle (P)$ :
$\displaystyle F(I) = 3 + 2(7) - 2(-3) - 5 = 18 > 0$ .
$\displaystyle F(G) = -1 + 2(-1) - 2(3) - 5 = -14 < 0$ .
Vì $\displaystyle F(I) \cdot F(G) < 0$ nên $\displaystyle I$ và $\displaystyle G$ nằm về hai phía của mặt phẳng $\displaystyle (P)$ .
Do đó, $\displaystyle MI + MG$ nhỏ nhất khi $\displaystyle M = IG \cap (P)$ .
Phương trình đường thẳng $\displaystyle IG$ đi qua $\displaystyle G(-1;-1;3)$ có VTCP $\displaystyle \vec{GI} = (4; 8; -6) = 2(2; 4; -3)$ :
$\displaystyle \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = -1 + 4t \\ z = 3 - 3t \end{cases}$
Thay vào phương trình mặt phẳng $\displaystyle (P)$ :
$\displaystyle (-1 + 2t) + 2(-1 + 4t) - 2(3 - 3t) - 5 = 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow 16t - 14 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{7}{8}$ .
Cao độ điểm $\displaystyle M$ : $\displaystyle z_M = 3 - 3\left(\frac{7}{8}\right) = \frac{3}{8}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi