Đăng nhập Đăng ký

ID: 20605

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho $\displaystyle A(0;1;2)$ , $\displaystyle B(-1;0;3)$ , $\displaystyle C(3;2;-2)$ và đường thẳng $\displaystyle d: \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{2} = z$ . Điểm $\displaystyle M(a;b;c)$ thuộc $\displaystyle d$ thỏa mãn $\displaystyle |\vec{MA}-3\vec{MB}+\vec{MC}|$ nhỏ nhất. Giá trị của $\displaystyle a+b+c$ bằng

Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle I(x_I; y_I; z_I)$ là điểm thỏa mãn $\displaystyle \vec{IA} - 3\vec{IB} + \vec{IC} = \vec{0}$ .
Toạ độ điểm $\displaystyle I$ được tính bởi:
$\displaystyle x_I = \frac{x_A - 3x_B + x_C}{-1} = \frac{0 - 3(-1) + 3}{-1} = -6$
$\displaystyle y_I = \frac{y_A - 3y_B + y_C}{-1} = \frac{1 - 3(0) + 2}{-1} = -3$
$\displaystyle z_I = \frac{z_A - 3z_B + z_C}{-1} = \frac{2 - 3(3) - 2}{-1} = 9$
Nên $\displaystyle I(-6; -3; 9)$ .
Khi đó $\displaystyle |\vec{MA}-3\vec{MB}+\vec{MC}| = |-\vec{MI}| = MI$ .
$\displaystyle MI$ nhỏ nhất khi $\displaystyle M$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle I$ lên đường thẳng $\displaystyle d$ .
Vì $\displaystyle M \in d$ nên $\displaystyle M(1+3t; -1+2t; t)$ .
Vectơ $\displaystyle \vec{IM} = (3t+7; 2t+2; t-9)$ .
Vectơ chỉ phương của $\displaystyle d$ là $\displaystyle \vec{u}_d = (3; 2; 1)$ .
Do $\displaystyle IM \perp d \Rightarrow \vec{IM} \cdot \vec{u}_d = 0$ :
$\displaystyle 3(3t+7) + 2(2t+2) + 1(t-9) = 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow 14t + 16 = 0 \Leftrightarrow t = -\frac{8}{7}$ .
Suy ra toạ độ điểm $\displaystyle M$ :
$\displaystyle a = 1 + 3\left(-\frac{8}{7}\right) = -\frac{17}{7}$
$\displaystyle b = -1 + 2\left(-\frac{8}{7}\right) = -\frac{23}{7}$
$\displaystyle c = -\frac{8}{7}$
Vậy $\displaystyle a+b+c = -\frac{17}{7} - \frac{23}{7} - \frac{8}{7} = -\frac{48}{7}$ .
(Sửa lại đáp án chuẩn: D. $\displaystyle -\frac{48}{7}$ ).

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi