Đăng nhập Đăng ký

ID: 20606

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho $\displaystyle A(1;2;3)$ , $\displaystyle B(2;1;-3)$ , $\displaystyle C(0;-1;1)$ và $\displaystyle (P): x+y-z=0$ . Điểm $\displaystyle M(a;b;c)$ thuộc $\displaystyle (P)$ thỏa mãn $\displaystyle |\vec{MA}+3\vec{MB}-2\vec{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $\displaystyle c$ bằng

Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle I(x_I; y_I; z_I)$ là điểm thỏa mãn $\displaystyle \vec{IA} + 3\vec{IB} - 2\vec{IC} = \vec{0}$ .
toạ độ điểm $\displaystyle I$ được tính bằng:
$\displaystyle x_I = \frac{x_A + 3x_B - 2x_C}{2} = \frac{1 + 3(2) - 2(0)}{2} = \frac{7}{2}$
$\displaystyle y_I = \frac{y_A + 3y_B - 2y_C}{2} = \frac{2 + 3(1) - 2(-1)}{2} = \frac{7}{2}$
$\displaystyle z_I = \frac{z_A + 3z_B - 2z_C}{2} = \frac{3 + 3(-3) - 2(1)}{2} = -4$
Nên $\displaystyle I\left(\frac{7}{2}; \frac{7}{2}; -4\right)$ .
Khi đó $\displaystyle |\vec{MA}+3\vec{MB}-2\vec{MC}| = |2\vec{MI}| = 2MI$ .
Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi $\displaystyle M$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle I$ lên mặt phẳng $\displaystyle (P)$ .
Đường thẳng $\displaystyle \Delta$ đi qua $\displaystyle I$ và vuông góc với $\displaystyle (P)$ có phương trình:
$\displaystyle x = \frac{7}{2} + t$ , $\displaystyle y = \frac{7}{2} + t$ , $\displaystyle z = -4 - t$ .
Thay vào phương trình mặt phẳng $\displaystyle (P): x + y - z = 0$ :
$\displaystyle \left(\frac{7}{2} + t\right) + \left(\frac{7}{2} + t\right) - (-4 - t) = 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow 3t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = -\frac{11}{3}$ .
Suy ra cao độ $\displaystyle c = z_M = -4 - \left(-\frac{11}{3}\right) = -\frac{1}{3}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi