Đăng nhập Đăng ký

ID: 20607

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho mặt phẳng $\displaystyle (P): x - y + 2z = 0$ và các điểm $\displaystyle A(1;2;-1)$ , $\displaystyle B(3;1;-2)$ , $\displaystyle C(1;-2;1)$ . Điểm $\displaystyle M(a;b;c)$ thuộc $\displaystyle (P)$ sao cho $\displaystyle MA^2 - MB^2 - MC^2$ lớn nhất. Giá trị của $\displaystyle a+b+c$ bằng

Giải thích đáp án:
Chèn điểm $\displaystyle I(x_I; y_I; z_I)$ vào biểu thức $\displaystyle T = MA^2 - MB^2 - MC^2$ :
$\displaystyle \vec{MA}^2 - \vec{MB}^2 - \vec{MC}^2 = (\vec{MI} + \vec{IA})^2 - (\vec{MI} + \vec{IB})^2 - (\vec{MI} + \vec{IC})^2$
$\displaystyle = -MI^2 + 2\vec{MI} \cdot (\vec{IA} - \vec{IB} - \vec{IC}) + IA^2 - IB^2 - IC^2$ .
Chọn điểm $\displaystyle I$ sao cho $\displaystyle \vec{IA} - \vec{IB} - \vec{IC} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{OI} = \vec{OA} - \vec{OB} - \vec{OC}$ .
Toạ độ điểm $\displaystyle I$ :
$\displaystyle x_I = 1 - 3 - 1 = -3$
$\displaystyle y_I = 2 - 1 - (-2) = 3$
$\displaystyle z_I = -1 - (-2) - 1 = 0$
$\displaystyle \Rightarrow I(-3; 3; 0)$ .
Khi đó $\displaystyle T = -MI^2 + (IA^2 - IB^2 - IC^2)$ .
Do $\displaystyle IA^2 - IB^2 - IC^2$ là hằng số, $\displaystyle T$ đạt giá trị lớn nhất khi $\displaystyle MI^2$ nhỏ nhất, tức $\displaystyle MI$ nhỏ nhất.
Vì $\displaystyle M \in (P)$ nên $\displaystyle MI$ nhỏ nhất khi $\displaystyle M$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle I(-3;3;0)$ lên mặt phẳng $\displaystyle (P)$ .
Đường thẳng đi qua $\displaystyle I$ vuông góc với $\displaystyle (P)$ có phương trình:
$\displaystyle x = -3 + t$ , $\displaystyle y = 3 - t$ , $\displaystyle z = 2t$ .
Thay vào phương trình mặt phẳng $\displaystyle (P): x - y + 2z = 0$ :
$\displaystyle (-3 + t) - (3 - t) + 2(2t) = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ .
Suy ra $\displaystyle M(-2; 2; 2)$ , do đó $\displaystyle a = -2, b = 2, c = 2$ .
Vậy $\displaystyle a + b + c = -2 + 2 + 2 = 2$ .
(Sửa lại các lựa chọn theo đúng kết quả tính toán: đáp án đúng là $\displaystyle 2$ , tương ứng với vị trí C).

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi