Đăng nhập Đăng ký

ID: 20608

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho ba điểm $\displaystyle A(0;0;-1)$ , $\displaystyle B(-1;1;0)$ , $\displaystyle C(1;0;1)$ . Điểm $\displaystyle M(a;b;c)$ thỏa mãn $\displaystyle 3MA^2 + 2MB^2 - MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $\displaystyle 4a+2b+c$ bằng

Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle I(x_I; y_I; z_I)$ là điểm thỏa mãn $\displaystyle 3\vec{IA} + 2\vec{IB} - \vec{IC} = \vec{0}$ .
Toạ độ của $\displaystyle I$ được tính bởi:
$\displaystyle x_I = \frac{3(0) + 2(-1) - 1(1)}{4} = -\frac{3}{4}$
$\displaystyle y_I = \frac{3(0) + 2(1) - 1(0)}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\displaystyle z_I = \frac{3(-1) + 2(0) - 1(1)}{4} = -1$
$\displaystyle \Rightarrow I\left(-\frac{3}{4}; \frac{1}{2}; -1\right)$ .
Biến đổi biểu thức $\displaystyle P = 3MA^2 + 2MB^2 - MC^2$ :
$\displaystyle P = 3(\vec{MI}+\vec{IA})^2 + 2(\vec{MI}+\vec{IB})^2 - (\vec{MI}+\vec{IC})^2$
$\displaystyle = 4MI^2 + 2\vec{MI}\cdot(3\vec{IA}+2\vec{IB}-\vec{IC}) + 3IA^2 + 2IB^2 - IC^2$
$\displaystyle = 4MI^2 + 3IA^2 + 2IB^2 - IC^2$ .
Biểu thức $\displaystyle P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\displaystyle MI^2 = 0 \Leftrightarrow M \equiv I$ .
Do đó $\displaystyle a = -\frac{3}{4}, b = \frac{1}{2}, c = -1$ .
Vậy $\displaystyle 4a + 2b + c = 4\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\left(\frac{1}{2}\right) + (-1) = -3 + 1 - 1 = -3$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi