Đăng nhập Đăng ký

ID: 20610

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ trục tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho đường thẳng $\displaystyle (\Delta): \begin{cases} x = 2+t \\ y = -1+2t \\ z = 3t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$ và hai điểm $\displaystyle A(2;0;3)$ , $\displaystyle B(2;-2;-3)$ . Điểm $\displaystyle M$ thuộc đường thẳng $\displaystyle (\Delta)$ . Giá trị nhỏ nhất của $\displaystyle MA^4 + MB^4$ là

Giải thích đáp án:
Vì $\displaystyle M \in (\Delta)$ , gọi $\displaystyle M(2+t; -1+2t; 3t)$ .
Ta tính độ dài các đoạn thẳng $\displaystyle MA^2$ và $\displaystyle MB^2$ :
$\displaystyle MA^2 = (2+t - 2)^2 + (-1+2t - 0)^2 + (3t - 3)^2$
$\displaystyle = t^2 + (4t^2 - 4t + 1) + (9t^2 - 18t + 9) = 14t^2 - 22t + 10$ .
$\displaystyle MB^2 = (2+t - 2)^2 + (-1+2t - (-2))^2 + (3t - (-3))^2$
$\displaystyle = t^2 + (2t+1)^2 + (3t+3)^2$
$\displaystyle = t^2 + (4t^2 + 4t + 1) + (9t^2 + 18t + 9) = 14t^2 + 22t + 10$ .
Đặt $\displaystyle u = 14t^2 + 10 \ge 10$ và $\displaystyle v = 22t$ . Khi đó $\displaystyle MA^2 = u - v$ và $\displaystyle MB^2 = u + v$ .
Áp dụng bất đẳng thức $\displaystyle x^2 + y^2 \ge \frac{1}{2}(x+y)^2$ cho $\displaystyle x = MA^2$ và $\displaystyle y = MB^2$ :
$\displaystyle MA^4 + MB^4 = (u-v)^2 + (u+v)^2 = 2u^2 + 2v^2 \ge 2u^2$ .
Do $\displaystyle u = 14t^2 + 10 \ge 10$ (đạt khi $\displaystyle t = 0$ ), đồng thời khi $\displaystyle t = 0 \Rightarrow v = 0$ .
Nên $\displaystyle MA^4 + MB^4 \ge 2(10)^2 = 200$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi