Đăng nhập Đăng ký

ID: 20611

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho điểm $\displaystyle A(2;2;1)$ , $\displaystyle B\left(-\frac{8}{3}; \frac{4}{3}; \frac{8}{3}\right)$ . Đường thẳng $\displaystyle d$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp của $\displaystyle \Delta OAB$ và vuông góc với mặt phẳng $\displaystyle (OAB)$ . Biết $\displaystyle M$ là 1 điểm di động trên $\displaystyle d$ . Giá trị nhỏ nhất của $\displaystyle MA^2 + 2MB^2$ bằng

`1`
Giải thích đáp án:
Ta có $\displaystyle O(0;0;0)$ , $\displaystyle A(2;2;1) \Rightarrow OA = \sqrt{2^2+2^2+1^2} = 3$ .
$\displaystyle B\left(-\frac{8}{3}; \frac{4}{3}; \frac{8}{3}\right) \Rightarrow OB = \sqrt{\left(-\frac{8}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = 4$ .
$\displaystyle AB^2 = \left(2 + \frac{8}{3}\right)^2 + \left(2 - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(1 - \frac{8}{3}\right)^2 = \left(\frac{14}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{196 + 4 + 25}{9} = \frac{225}{9} = 25 \Rightarrow AB = 5$ .
Nhận thấy $\displaystyle OA^2 + OB^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = AB^2$ , suy ra $\displaystyle \Delta OAB$ vuông tại $\displaystyle O$ .
Gọi $\displaystyle I$ là điểm thỏa mãn $\displaystyle \vec{IA} + 2\vec{IB} = \vec{0} \Rightarrow \vec{OI} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OB}}{3}$ .
Khi đó $\displaystyle MA^2 + 2MB^2 = 3MI^2 + IA^2 + 2IB^2$ .
Để $\displaystyle MA^2 + 2MB^2$ nhỏ nhất thì $\displaystyle MI$ phải nhỏ nhất.
Vì $\displaystyle M \in d$ (đường thẳng vuông góc với $\displaystyle (OAB)$ tại tâm $\displaystyle K$ của đường tròn nội tiếp $\displaystyle \Delta OAB$ ), nên $\displaystyle MI \ge KI$ , do đó $\displaystyle MI$ nhỏ nhất khi $\displaystyle M \equiv K$ .
Khi đó $\displaystyle (MA^2 + 2MB^2)_{\min} = 3KI^2 + IA^2 + 2IB^2 = KA^2 + 2KB^2$ .
Với $\displaystyle K$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông $\displaystyle OAB$ tại $\displaystyle O$ , bán kính $\displaystyle r = \frac{OA + OB - AB}{2} = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$ .
KHOẢNG CÁCH $\displaystyle KA^2 = (OA - r)^2 + r^2 = 2^2 + 1^2 = 5$ .
$\displaystyle KB^2 = (OB - r)^2 + r^2 = 3^2 + 1^2 = 10$ .
Giá trị nhỏ nhất $\displaystyle = KA^2 + 2KB^2 = 5 + 2(10) = 25$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi