Đăng nhập Đăng ký

ID: 20612

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho $\displaystyle B(1;2;3)$ , $\displaystyle C(-2;1;4)$ và mặt cầu $\displaystyle (S): x^2 + y^2 + \left(z - \frac{11}{2}\right)^2 = \frac{10}{23}$ . Điểm $\displaystyle M(a;b;c)$ thuộc $\displaystyle (S)$ thỏa mãn $\displaystyle |\vec{MO}+2\vec{MB}| + |\vec{MO}+\vec{MB}-5\vec{MC}|$ đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của $\displaystyle a+b-14c$ bằng

`1`
Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle I$ là điểm thỏa mãn $\displaystyle \vec{IO} + 2\vec{IB} = \vec{0} \Rightarrow \vec{OI} = \frac{2}{3}\vec{OB} \Rightarrow I\left(\frac{2}{3}; \frac{4}{3}; 2\right)$ .
Khi đó $\displaystyle |\vec{MO}+2\vec{MB}| = |3\vec{MI}| = 3MI$ .
Xét biểu thức thứ hai: $\displaystyle \vec{MO}+\vec{MB}-5\vec{MC} = -\vec{OM} + (\vec{OB}-\vec{OM}) - 5(\vec{OC}-\vec{OM}) = 3\vec{OM} + \vec{OB} - 5\vec{OC}$ .
Gọi $\displaystyle K$ là điểm sao cho $\displaystyle \vec{KO} + \vec{KB} - 5\vec{KC} = \vec{0} \Rightarrow \vec{OK} = \frac{1}{3}\vec{OB} - \frac{5}{3}\vec{OC} = \left(\frac{11}{3}; -\frac{1}{3}; -5\right)$ .
Khi đó $\displaystyle |\vec{MO}+\vec{MB}-5\vec{MC}| = |-3\vec{MK}| = 3MK$ .
Tổng biểu thức $\displaystyle P = 3(MI + MK)$ .
Mặt cầu $\displaystyle (S)$ có tâm $\displaystyle J\left(0; 0; \frac{11}{2}\right)$ và bán kính $\displaystyle R = \sqrt{\frac{10}{23}}$ .
$\displaystyle P$ đạt giá trị lớn nhất khi $\displaystyle M$ thuộc mặt cầu $\displaystyle (S)$ và nằm trên đường thẳng đi qua tâm $\displaystyle J$ nối với hai điểm $\displaystyle I, K$ .
Giải tìm toạ độ điểm $\displaystyle M(a;b;c)$ ta thu được $\displaystyle a = \frac{4}{23}, b = \frac{8}{23}, c = \frac{255}{46}$ .
Thay vào biểu thức $\displaystyle a+b-14c = \frac{4}{23} + \frac{8}{23} - 14 \cdot \frac{255}{46} = -82$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi