Đăng nhập Đăng ký

ID: 20613

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ trục tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho các điểm $\displaystyle A(3;-2;-1)$ , $\displaystyle B(1;4;6)$ , $\displaystyle C(3;38;-16)$ , $\displaystyle D(2;5;1)$ . Điểm $\displaystyle M(a;b;c)$ thỏa mãn biểu thức
$\displaystyle P = MD^4 - \frac{16}{3}MD^3 - 4MA^2 - 5MB^2 - MC^2$
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\displaystyle Q = a + b + c$ là (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

`1`
Giải thích đáp án:
- Xét cụm biểu thức $\displaystyle T = 4MA^2 + 5MB^2 + MC^2$ .
Gọi $\displaystyle I(x_I; y_I; z_I)$ là điểm thỏa mãn $\displaystyle 4\vec{IA} + 5\vec{IB} + \vec{IC} = \vec{0}$ .
Tọa độ điểm $\displaystyle I$ :
$\displaystyle x_I = \frac{4(3) + 5(1) + 3}{10} = 2$
$\displaystyle y_I = \frac{4(-2) + 5(4) + 38}{10} = 5$
$\displaystyle z_I = \frac{4(-1) + 5(6) - 16}{10} = 1$
$\displaystyle \Rightarrow I(2;5;1)$ , trùng với điểm $\displaystyle D(2;5;1)$ .
- Do đó, $\displaystyle T = 10MD^2 + K$ (với $\displaystyle K = 4DA^2 + 5DB^2 + DC^2$ là hằng số).
Thay vào $\displaystyle P$ , ta có: $\displaystyle P = MD^4 - \frac{16}{3}MD^3 - 10MD^2 - K$ .
Đặt $\displaystyle x = MD \ge 0$ , xét hàm số $\displaystyle f(x) = x^4 - \frac{16}{3}x^3 - 10x^2$ :
$\displaystyle f'(x) = 4x^3 - 16x^2 - 20x = 4x(x - 5)(x + 1)$ .
$\displaystyle f'(x) = 0 \xrightarrow{x \ge 0} x = 5$ .
Lập bảng biến thiên suy ra $\displaystyle f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $\displaystyle x = 5 \Rightarrow MD = 5$ .
- Tập hợp điểm $\displaystyle M(a;b;c)$ thuộc mặt cầu tâm $\displaystyle D(2;5;1)$ , bán kính $\displaystyle R = 5$ :
$\displaystyle (a-2)^2 + (b-5)^2 + (c-1)^2 = 25$ .
- Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\displaystyle [(a-2) + (b-5) + (c-1)]^2 \le (1^2 + 1^2 + 1^2)[(a-2)^2 + (b-5)^2 + (c-1)^2] = 3 \times 25 = 75$ .
$\displaystyle \Rightarrow a + b + c - 8 \le \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$
$\displaystyle \Rightarrow Q = a + b + c \le 8 + 5\sqrt{3} \approx 16,66 \approx 16,7$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi