Đăng nhập Đăng ký

ID: 20614

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho hai điểm $\displaystyle A(1;2;1)$ , $\displaystyle B(2;-1;3)$ và điểm $\displaystyle M(a;b;0)$ sao cho $\displaystyle MA^2 + MB^2$ nhỏ nhất. Giá trị của $\displaystyle a+b$ bằng

Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle I$ là trung điểm của đoạn thẳng $\displaystyle AB$ :
$\displaystyle x_I = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}$
$\displaystyle y_I = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$
$\displaystyle z_I = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$\displaystyle \Rightarrow I\left(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; 2\right)$ .
Ta có $\displaystyle MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}$ .
Do $\displaystyle AB$ cố định nên $\displaystyle MA^2 + MB^2$ nhỏ nhất khi $\displaystyle MI$ nhỏ nhất.
Vì $\displaystyle M(a;b;0) \in (Oxy)$ , $\displaystyle MI$ nhỏ nhất khi $\displaystyle M$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle I$ lên $\displaystyle (Oxy)$ .
Suy ra $\displaystyle M\left(\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; 0\right)$ , nghĩa là $\displaystyle a = \frac{3}{2}$ và $\displaystyle b = \frac{1}{2}$ .
Vậy $\displaystyle a + b = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi