Đăng nhập Đăng ký

ID: 20615

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho 5 điểm $\displaystyle A(1;0;0)$ , $\displaystyle B(-1;1;0)$ , $\displaystyle C(0;-1;0)$ , $\displaystyle D(0;1;0)$ , $\displaystyle E(0;3;0)$ . $\displaystyle M$ là điểm thay đổi trên mặt cầu $\displaystyle (S): x^2 + (y-1)^2 + z^2 = 1$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $\displaystyle P = 2|\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}| + 3|\vec{MD}+\vec{ME}|$ bằng

Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle G$ là trọng tâm $\displaystyle \Delta ABC$ :
$\displaystyle x_G = \frac{1 - 1 + 0}{3} = 0$
$\displaystyle y_G = \frac{0 + 1 - 1}{3} = 0$
$\displaystyle z_G = \frac{0 + 0 + 0}{3} = 0 \Rightarrow G(0;0;0) \equiv O$ .
Nên $\displaystyle 2|\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}| = 2|3\vec{MG}| = 6MG$ .
Gọi $\displaystyle K$ là trung điểm của $\displaystyle DE$ :
$\displaystyle x_K = \frac{0 + 0}{2} = 0$
$\displaystyle y_K = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$\displaystyle z_K = \frac{0 + 0}{2} = 0 \Rightarrow K(0;2;0)$ .
Nên $\displaystyle 3|\vec{MD}+\vec{ME}| = 3|2\vec{MK}| = 6MK$ .
Do đó $\displaystyle P = 6(MG + MK) = 6(MO + MK)$ .
Mặt cầu $\displaystyle (S)$ có tâm $\displaystyle I(0;1;0)$ và bán kính $\displaystyle R = 1$ .
Nhận thấy $\displaystyle I$ là trung điểm của đoạn thẳng $\displaystyle OK$ vì $\displaystyle O(0;0;0)$ và $\displaystyle K(0;2;0)$ .
Với $\displaystyle M \in (S)$ , ta có $\displaystyle MI = R = 1$ .
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến trong $\displaystyle \Delta MOK$ :
$\displaystyle MI^2 = \frac{MO^2 + MK^2}{2} - \frac{OK^2}{4}$
$\displaystyle \Leftrightarrow 1^2 = \frac{MO^2 + MK^2}{2} - \frac{2^2}{4} \Leftrightarrow 1 = \frac{MO^2 + MK^2}{2} - 1 \Leftrightarrow MO^2 + MK^2 = 4$ .
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\displaystyle (MO + MK)^2 \le 2(MO^2 + MK^2) = 2 \times 4 = 8 \Rightarrow MO + MK \le \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ .
Do đó $\displaystyle P \le 6 \times 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi