Đăng nhập Đăng ký

ID: 20616

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho hai điểm $\displaystyle A(1;1;3)$ , $\displaystyle B(5;2;-1)$ và hai điểm $\displaystyle M, N$ thay đổi trên mặt phẳng $\displaystyle (Oxy)$ sao cho điểm $\displaystyle I(1;2;0)$ luôn là trung điểm của $\displaystyle MN$ . Khi biểu thức $\displaystyle P = MA^2 + 2NB^2 + \vec{MA}\cdot\vec{NB}$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính $\displaystyle T = 2x_M - 4x_N + 7y_M - y_N$ .

Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle M(a; b; 0) \in (Oxy)$ .
Do $\displaystyle I(1;2;0)$ là trung điểm của $\displaystyle MN$ nên $\displaystyle \vec{IN} = -\vec{IM} \Rightarrow N = 2I - M = (2-a; 4-b; 0)$ .
Ta có các vectơ:
$\displaystyle \vec{MA} = (1-a; 1-b; 3)$
$\displaystyle \vec{NB} = (5 - (2-a); 2 - (4-b); -1) = (a+3; b-2; -1)$
Khi đó:
$\displaystyle MA^2 = (1-a)^2 + (1-b)^2 + 3^2$
$\displaystyle NB^2 = (a+3)^2 + (b-2)^2 + (-1)^2$
$\displaystyle \vec{MA}\cdot\vec{NB} = (1-a)(a+3) + (1-b)(b-2) + 3(-1)$
Biến đổi biểu thức $\displaystyle P = MA^2 + 2NB^2 + \vec{MA}\cdot\vec{NB}$ :
$\displaystyle P = 2a^2 + 8a + 2b^2 - 7b + 37$
$\displaystyle = 2(a + 2)^2 + 2\left(b - \frac{7}{4}\right)^2 + \frac{183}{8}$
Biểu thức $\displaystyle P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\displaystyle a = -2$ và $\displaystyle b = \frac{7}{4}$ .
Suy ra tọa độ các điểm:
$\displaystyle M\left(-2; \frac{7}{4}; 0\right) \Rightarrow x_M = -2, y_M = \frac{7}{4}$
$\displaystyle N\left(4; \frac{9}{4}; 0\right) \Rightarrow x_N = 4, y_N = \frac{9}{4}$
Tính giá trị $\displaystyle T$ :
$\displaystyle T = 2x_M - 4x_N + 7y_M - y_N = 2(-2) - 4(4) + 7\left(\frac{7}{4}\right) - \frac{9}{4} = -4 - 16 + \frac{49}{4} - \frac{9}{4} = -10$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi