Đăng nhập Đăng ký

ID: 20617

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho hai điểm $\displaystyle A(1;2;1)$ , $\displaystyle B(2;-1;3)$ . Tìm điểm $\displaystyle M$ trên mặt phẳng $\displaystyle (Oxy)$ sao cho $\displaystyle MA^2 - 2MB^2$ lớn nhất.

Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle I(x_I; y_I; z_I)$ là điểm thỏa mãn $\displaystyle \vec{IA} - 2\vec{IB} = \vec{0} \Rightarrow \vec{OI} = 2\vec{OB} - \vec{OA}$ .
$\displaystyle x_I = 2(2) - 1 = 3$
$\displaystyle y_I = 2(-1) - 2 = -4$
$\displaystyle z_I = 2(3) - 1 = 5$
$\displaystyle \Rightarrow I(3; -4; 5)$ .
Chèn điểm $\displaystyle I$ vào biểu thức $\displaystyle T = MA^2 - 2MB^2$ :
$\displaystyle T = (\vec{MI}+\vec{IA})^2 - 2(\vec{MI}+\vec{IB})^2 = -MI^2 + 2\vec{MI}\cdot(\vec{IA}-2\vec{IB}) + IA^2 - 2IB^2$
$\displaystyle = -MI^2 + IA^2 - 2IB^2$ .
Do $\displaystyle IA^2 - 2IB^2$ là hằng số nên $\displaystyle T$ đạt giá trị lớn nhất khi $\displaystyle MI^2$ nhỏ nhất, tức $\displaystyle MI$ nhỏ nhất.
Vì $\displaystyle M \in (Oxy)$ , $\displaystyle MI$ nhỏ nhất khi $\displaystyle M$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle I(3;-4;5)$ lên mặt phẳng $\displaystyle (Oxy)$ .
Vậy $\displaystyle M(3; -4; 0)$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi