Đăng nhập Đăng ký

ID: 20618

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho điểm $\displaystyle A(4;4;0)$ , điểm $\displaystyle B(4;0;4)$ , mặt phẳng $\displaystyle (P): x-y-z=0$ và mặt cầu $\displaystyle (S): x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 2y - 2z = 0$ . $\displaystyle M$ là điểm thuộc đường tròn giao tuyến của $\displaystyle (P)$ và $\displaystyle (S)$ . Giá trị lớn nhất của $\displaystyle MO + MA + MB$ bằng

Giải thích đáp án:
Mặt cầu $\displaystyle (S)$ có tâm $\displaystyle I(3;1;1)$ và bán kính $\displaystyle R = \sqrt{3^2+1^2+1^2-0} = \sqrt{11}$ .
Thử tọa độ tâm $\displaystyle I(3;1;1)$ vào $\displaystyle (P): 3 - 1 - 1 = 1 \neq 0$ , hình chiếu của $\displaystyle I$ lên $\displaystyle (P)$ là tâm $\displaystyle H$ của đường tròn giao tuyến $\displaystyle (C) = (P) \cap (S)$ .
Đường thẳng đi qua $\displaystyle I$ vuông góc $\displaystyle (P)$ có pt: $\displaystyle x = 3+t, y = 1-t, z = 1-t$ .
Thay vào $\displaystyle (P): (3+t) - (1-t) - (1-t) = 0 \Leftrightarrow 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = -\frac{1}{3} \Rightarrow H\left(\frac{8}{3}; \frac{4}{3}; \frac{4}{3}\right)$ .
Bán kính đường tròn giao tuyến $\displaystyle r = \sqrt{R^2 - IH^2} = \sqrt{11 - 3t^2} = \sqrt{11 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{32}{3}} = 4\sqrt{\frac{2}{3}}$ .
Nhận thấy $\displaystyle O(0;0;0), A(4;4;0), B(4;0;4)$ đều thuộc mặt phẳng $\displaystyle (P)$ và tam giác $\displaystyle OAB$ đều có $\displaystyle OA = OB = AB = 4\sqrt{2}$ .
Tâm đường tròn ngoại tiếp $\displaystyle \Delta OAB$ trùng với $\displaystyle H\left(\frac{8}{3}; \frac{4}{3}; \frac{4}{3}\right)$ .
Do đó $\displaystyle HO = HA = HB = R_0 = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ .
Đường tròn giao tuyến $\displaystyle (C)$ nằm trên $\displaystyle (P)$ , có cùng tâm $\displaystyle H$ với đường tròn ngoại tiếp $\displaystyle \Delta OAB$ .
Do $\displaystyle M \in (C)$ nên $\displaystyle HM = r = 4\sqrt{\frac{2}{3}}$ .
Sử dụng công thức liên hệ khoảng cách từ $\displaystyle M$ trên đường tròn tới 3 đỉnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn đồng tâm:
Giá trị lớn nhất của $\displaystyle MO + MA + MB = 3r = 3 \times 4\sqrt{\frac{2}{3}} = 12\sqrt{\frac{2}{3}} = 4\sqrt{6}$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi