Đăng nhập Đăng ký

ID: 20623

Nhận biết (M1)
Cho đường thẳng $\displaystyle \Delta: \frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+2}{2}$ và $\displaystyle A(1;1;0)$ , $\displaystyle B(3;-1;4)$ . Tìm tọa độ điểm $\displaystyle M$ thuộc $\displaystyle \Delta$ sao cho $\displaystyle MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải thích đáp án:
Chọn D
$\displaystyle \Delta: \frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+2}{2}$ có 1 VTCP $\displaystyle \vec{u}(1;-1;2)$
$\displaystyle A(1;1;0)$ , $\displaystyle B(3;-1;4) \Rightarrow \vec{AB}(2;-2;4)$
Ta có: $\displaystyle \vec{AB}(2;-2;4)$ cùng phương với $\displaystyle \vec{u}(1;-1;2)$ và $\displaystyle A(1;1;0) \notin \Delta$ (do $\displaystyle \frac{1+1}{1} \neq \frac{1-1}{-1}$ )
$\displaystyle \Rightarrow AB // \Delta \Rightarrow AB$ và $\displaystyle \Delta$ đồng phẳng.
* Xét mặt phẳng chứa $\displaystyle AB$ và $\displaystyle \Delta$ :
Gọi $\displaystyle A'$ là điểm đối xứng của $\displaystyle A$ qua $\displaystyle \Delta$ ; $\displaystyle (\alpha)$ là mặt phẳng qua $\displaystyle A$ , vuông góc với $\displaystyle \Delta$ .
Khi đó, giao điểm $\displaystyle H$ của $\displaystyle \Delta$ với $\displaystyle (\alpha)$ là trung điểm của $\displaystyle AA'$ .
$\displaystyle (\alpha)$ có 1 VTPT $\displaystyle \vec{n}(1;-1;2)$ , đi qua $\displaystyle A(1;1;0)$ , có phương trình:
$\displaystyle 1(x-1) - 1(y-1) + 2(z-0) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2z = 0$
$\displaystyle H \in \Delta: \frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+2}{2} \Rightarrow \text{Giả sử } H(-1+t; 1-t; -2+2t)$
$\displaystyle H \in (\alpha) \Rightarrow (-1+t) - (1-t) + 2(-2+2t) = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H(0;0;0)$
$\displaystyle H$ là trung điểm của $\displaystyle AA' \Rightarrow \begin{cases} 2x_H = x_A + x_{A'} \\ 2y_H = y_A + y_{A'} \\ 2z_H = z_A + z_{A'} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2.0 = 1 + x_{A'} \\ 2.0 = 1 + y_{A'} \\ 2.0 = 0 + z_{A'} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_{A'} = -1 \\ y_{A'} = -1 \\ z_{A'} = 0 \end{cases} \Rightarrow A'(-1;-1;0)$
Ta có: $\displaystyle MA + MB = MA' + MB \ge A'B \Rightarrow (MA + MB)_{\min} = A'B$ khi và chỉ khi $\displaystyle M$ trùng với $\displaystyle M_0$ là giao điểm của $\displaystyle A'B$ và $\displaystyle \Delta$ .
$\displaystyle \vec{A'B} = (4;0;4) \Rightarrow A'B$ có 1 VTCP $\displaystyle (1;0;1)$ và đi qua $\displaystyle A'(-1;-1;0)$ , có phương trình: $\displaystyle \begin{cases} x = -1 + t' \\ y = -1 \\ z = t' \end{cases}$
Mà $\displaystyle \Delta: \begin{cases} x = -1 + t \\ y = 1 - t \\ z = -2 + 2t \end{cases}$
Giải hệ phương trình: $\displaystyle \begin{cases} -1 + t = -1 + t' \\ 1 - t = -1 \\ -2 + 2t = t' \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = t' \\ t = 2 \\ -2 + 2t = t' \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t' = 2 \\ t = 2 \end{cases}$
$\displaystyle \Rightarrow M_0(1;-1;2)$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi