Đăng nhập Đăng ký

ID: 20626

Nhận biết (M1)
Cho mặt phẳng $\displaystyle (\alpha): x + y - 3z - 5 = 0$ và hai điểm $\displaystyle A(1;-1;2)$ , $\displaystyle B(-5;-1;0)$ . Biết $\displaystyle M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $\displaystyle (\alpha)$ sao cho $\displaystyle MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức $\displaystyle T = a + 2b + 3c$ bằng bao nhiêu?

Giải thích đáp án:
Ta có: $\displaystyle (x_A + y_A - 3z_A - 5)(x_B + y_B - 3z_B - 5) = (1 - 1 - 3.2 - 5)(-5 - 1 - 3.0 - 5) > 0$ nên hai điểm $\displaystyle A$ và $\displaystyle B$ cùng nằm về một phía của mặt phẳng $\displaystyle (\alpha)$ .
Gọi $\displaystyle H$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle A$ lên mặt phẳng $\displaystyle (\alpha)$ .
Phương trình đường thẳng $\displaystyle AH: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + t \\ z = 2 - 3t \end{cases}$
Do đó tọa độ điểm $\displaystyle H$ là nghiệm của hệ phương trình
$\displaystyle \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + t \\ z = 2 - 3t \\ x + y - 3z - 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = 1 \\ x = 2 \\ y = 0 \\ z = -1 \end{cases}$ . Do đó $\displaystyle H(2;0;-1)$ .
Gọi $\displaystyle A'$ đối xứng với $\displaystyle A$ qua $\displaystyle (\alpha)$ , suy ra $\displaystyle A'(3;1;-4)$ .
Ta có $\displaystyle MA + MB = MA' + MB \ge A'B$ nên $\displaystyle MA + MB$ nhỏ nhất khi $\displaystyle M = A'B \cap (\alpha)$ .
Phương trình đường thẳng $\displaystyle A'B: \begin{cases} x = 3 - 4t \\ y = 1 - t \\ z = -4 + 3t \end{cases}$ .
Do đó tọa độ điểm $\displaystyle M$ là nghiệm của hệ phương trình
$\displaystyle \begin{cases} x = 3 - 4t \\ y = 1 - t \\ z = -4 + 3t \\ x + y - 3z - 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = \frac{12}{11} \\ x = -\frac{15}{11} \\ y = -\frac{1}{11} \\ z = -\frac{20}{11} \end{cases}$ .
Do đó $\displaystyle M\left(-\frac{15}{11}; -\frac{1}{11}; -\frac{20}{11}\right)$ , $\displaystyle T = a + 2b + 3c = -7$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi