Đăng nhập Đăng ký

ID: 20629

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho điểm $\displaystyle M(1;-2;3)$ . Gọi $\displaystyle (P)$ là mặt phẳng qua $\displaystyle M$ và cắt các trục tọa độ lần lượt tại $\displaystyle A, B, C$ . Viết phương trình mặt phẳng $\displaystyle (P)$ biết biểu thức $\displaystyle \frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải thích đáp án:
Gọi $\displaystyle H$ là trực tâm của tam giác $\displaystyle ABC$ . Khi đó $\displaystyle OH \perp (ABC)$ .
Do $\displaystyle OH$ là đường cao của tứ diện $\displaystyle O.ABC \Rightarrow \frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$ .
Suy ra $\displaystyle \frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\displaystyle OH$ đạt giá trị lớn nhất $\displaystyle \Leftrightarrow OH = OM$ .
Mặt phẳng $\displaystyle (P)$ đi qua $\displaystyle M$ và vuông góc với $\displaystyle OM$ nên nhận $\displaystyle \vec{OM}=(1;-2;3)$ làm vec-tơ pháp tuyến, có phương trình là $\displaystyle 1(x-1)-2(y+2)+3(z-3)=0 \Leftrightarrow x-2y+3z-14=0$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi