Đăng nhập Đăng ký

ID: 20633

Nhận biết (M1)
(SỞ BÌNH PHƯỚC) Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho điểm $\displaystyle A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$ , trong đó $\displaystyle a>0, b>0, c>0$ và $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7$ . Biết mặt phẳng $\displaystyle (ABC)$ tiếp xúc với mặt cầu $\displaystyle (S): (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = \frac{72}{7}$ . Thể tích của khối tứ diện $\displaystyle OABC$ là

Giải thích đáp án:
Chọn A
Ta có phương trình $\displaystyle (ABC)$ là: $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .
Mặt cầu $\displaystyle (S)$ có tâm $\displaystyle I(1;2;3)$ , bán kính $\displaystyle R = \frac{6\sqrt{2}}{7}$ .
Do mặt phẳng $\displaystyle (ABC)$ tiếp xúc với mặt cầu $\displaystyle (S)$ nên:
$\displaystyle d(I; (ABC)) = R \Leftrightarrow \frac{\left|\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}\right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(\frac{1}{b}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2}} = \frac{6\sqrt{2}}{7} \Rightarrow \left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(\frac{1}{b}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2 = \frac{7}{2}$ .
Theo BĐT bunhiacopski ta có $\displaystyle \frac{7}{2} = \left[\left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(\frac{1}{b}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2\right] \ge \frac{\left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}\right)^2}{1^2 + 2^2 + 3^2} = \frac{7}{2}$ .
Do đó dấu bằng xảy ra khi $\displaystyle a = 2; b = 1; c = \frac{2}{3} \Rightarrow V_{OABC} = \frac{abc}{6} = \frac{2}{9}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi