Đăng nhập Đăng ký

ID: 20634

Nhận biết (M1)
Trong không gian với hệ tọa độ $\displaystyle Oxyz$ , cho hai điểm $\displaystyle A(-2;-2;1), B(1;2;-3)$ và đường thẳng $\displaystyle d: \frac{x+1}{2} = \frac{y-5}{2} = \frac{z}{-1}$ . Tìm véc tơ chỉ phương $\displaystyle \vec{u}$ của đường thẳng $\displaystyle \Delta$ qua $\displaystyle A$ , vuông góc với $\displaystyle d$ đồng thời cách điểm $\displaystyle B$ một khoảng bé nhất.

Giải thích đáp án:
Chọn D
Gọi $\displaystyle \vec{u} = (a;b;c)$ là VTCP của $\displaystyle \Delta$ với $\displaystyle a^2 + b^2 + c^2 \neq 0$ .
$\displaystyle \Delta \perp d \Rightarrow 2a + 2b - c = 0 \Rightarrow c = 2a + 2b \Rightarrow \vec{u} = (a;b;2a+2b)$ .
$\displaystyle \vec{AB} = (3;4;-4) \Rightarrow \vec{AB} \wedge \vec{u} = (8a+12b; -10a-6b; -4a+3b)$ .
Ta có: $\displaystyle d(B;\Delta) = \frac{|\vec{AB} \wedge \vec{u}|}{|\vec{u}|} = \frac{\sqrt{(8a+12b)^2 + (10a+6b)^2 + (4a-3b)^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + (2a+2b)^2}} = \sqrt{\frac{180a^2 + 288ab + 189b^2}{5a^2 + 8ab + 5b^2}}$ .
Nếu $\displaystyle b = 0$ thì $\displaystyle d(B;\Delta) = 6$ .
Nếu $\displaystyle b \neq 0$ thì $\displaystyle d(B;\Delta) = \sqrt{\frac{180x^2 + 288x + 189}{5x^2 + 8x + 5}}$ với $\displaystyle x = \frac{a}{b}$ .
Xét hàm số $\displaystyle f(x) = \frac{180x^2 + 288x + 189}{5x^2 + 8x + 5}$ , tập xác định $\displaystyle D = \mathbb{R}$ .
Ta có BBT:
So sánh hai trường hợp trên ta thấy $\displaystyle d(B;\Delta)$ nhỏ nhất bằng $\displaystyle 6$ khi $\displaystyle b = 0 \Rightarrow c = 2a$ nên $\displaystyle \Delta$ có 1 VTCP $\displaystyle \vec{u} = (1;0;2)$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi