Đăng nhập Đăng ký

ID: 20637

Nhận biết (M1)
Trong không gian $\displaystyle Oxyz$ , cho mặt phẳng $\displaystyle (P): x + 2y + 2z + 4 = 0$ và mặt cầu $\displaystyle (S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 1 = 0$ . Tọa độ điểm $\displaystyle M$ trên $\displaystyle (S)$ sao cho $\displaystyle d(M, (P))$ đạt giá trị nhỏ nhất là

Giải thích đáp án:
Chọn C
Ta có: $\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 1 = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 4$
Mặt cầu $\displaystyle (S)$ có tâm $\displaystyle I(1;1;1)$ , bán kính $\displaystyle R = 2$
$\displaystyle d(I, (P)) = \frac{|1 + 2 + 2 + 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = 3 > R$ . Do đó, $\displaystyle (S)$ và $\displaystyle (P)$ không giao nhau.
Vậy để khoảng cách từ $\displaystyle M$ đến $\displaystyle (P)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\displaystyle M$ thuộc đường thẳng $\displaystyle d$ đi qua tâm $\displaystyle I$ của mặt cầu $\displaystyle (S)$ và vuông góc với mặt phẳng $\displaystyle (P)$ .
Mặt phẳng $\displaystyle (P)$ có VTPT $\displaystyle \vec{n} = (1;2;2)$
Đường thẳng $\displaystyle d$ đi qua $\displaystyle I$ và nhận $\displaystyle \vec{n} = (1;2;2)$ làm VTCP nên $\displaystyle d$ có phương trình là:
$\displaystyle \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$
$\displaystyle M \in d \Rightarrow M(1+t; 1+2t; 1+2t)$
$\displaystyle M \in (S) \Rightarrow (1+t-1)^2 + (1+2t-1)^2 + (1+2t-1)^2 = 4 \Leftrightarrow 9t^2 = 4 \Leftrightarrow t = \pm\frac{2}{3}$
Với $\displaystyle t = \frac{2}{3} \Rightarrow M\left(\frac{5}{3}; \frac{7}{3}; \frac{7}{3}\right) \Rightarrow d(M, (P)) = \frac{11}{3}$
Với $\displaystyle t = -\frac{2}{3} \Rightarrow M\left(\frac{1}{3}; \frac{-1}{3}; \frac{-1}{3}\right) \Rightarrow d(M, (P)) = \frac{1}{3}$
Vậy $\displaystyle M\left(\frac{1}{3}; \frac{-1}{3}; \frac{-1}{3}\right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi