Đăng nhập Đăng ký

ID: 20640

Nhận biết (M1)
Cho điểm $\displaystyle A(0;8;2)$ và mặt cầu $\displaystyle (S)$ có phương trình $\displaystyle (S): (x-5)^2 + (y+3)^2 + (z-7)^2 = 72$ và điểm $\displaystyle B(9;-7;23)$ . Viết phương trình mặt phẳng $\displaystyle (P)$ qua $\displaystyle A$ tiếp xúc với $\displaystyle (S)$ sao cho khoảng cách từ $\displaystyle B$ đến $\displaystyle (P)$ là lớn nhất. Giả sử $\displaystyle \vec{n} = (1;m;n)$ là một vecto pháp tuyến của $\displaystyle (P)$ . Lúc đó

Giải thích đáp án:
Chọn D
Gọi phương trình mặt phẳng $\displaystyle (P)$ là: $\displaystyle x + my + nz + d = 0$
Vì $\displaystyle A \in (P)$ nên ta $\displaystyle 8m + 2n + d = 0 \Leftrightarrow d = -8m - 2n \Rightarrow (P): x + my + nz - (8m + 2n) = 0$ .
Do $\displaystyle (P)$ tiếp xúc với mặt cầu $\displaystyle (S)$ nên $\displaystyle d(I, (P)) = R \Leftrightarrow \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^2 + n^2}} = 6\sqrt{2}$ .
Ta có: $\displaystyle d(B, (P)) = \frac{|9 - 7m + 23n - 8m - 2n|}{\sqrt{1 + m^2 + n^2}} = \frac{|(5 - 11m + 5n) + 4(1 - m + 4n)|}{\sqrt{1 + m^2 + n^2}}$
$\displaystyle \Rightarrow d(B, (P)) \le \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^2 + n^2}} + 4\frac{|1 - m + 4n|}{\sqrt{1 + m^2 + n^2}} \Leftrightarrow d(B, (P)) \le 6\sqrt{2} + 4\frac{|1 - m + 4n|}{\sqrt{1 + m^2 + n^2}}$
$\displaystyle \xrightarrow{Cosi-Svac} d(B, (P)) \le 6\sqrt{2} + 4\frac{\sqrt{(1 + 1 + 16)(1 + m^2 + n^2)}}{\sqrt{1 + m^2 + n^2}} \Leftrightarrow d(B, (P)) \le 18\sqrt{2}$ .
Dấu " $\displaystyle =$ " xảy ra khi $\displaystyle \begin{cases} 1 = -m = \frac{n}{4} \\ \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^2 + n^2}} = 6\sqrt{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = -1 \\ n = 4 \\ d = 0 \end{cases}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi