Đăng nhập Đăng ký

ID: 20748

Nhận biết (M1)
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với tọa độ của các đỉnh như sau $\displaystyle A(1;3;-2),B(3;2;-4),C(2,1,0),D(3;5;-1)$ .
Cho các mệnh đề sau, những mệnh đề nào đúng?
ĐÚNG
SAI
Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD.
⭘
⭘
Cho là trung điểm của BC thì .
⭘
⭘
Thể tích của khối tứ diện (đvtt).
⭘
⭘
Tam giác BCD là tam giác đều
⭘
⭘
Đáp án
ĐÚNG
SAI
Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD.
🞊
⭘
Cho là trung điểm của BC thì .
⭘
🞊
Thể tích của khối tứ diện (đvtt).
⭘
🞊
Tam giác BCD là tam giác đều
🞊
⭘
Phương pháp giải
Các phép toán vectơ

Đáp án đúng:
Giải thích đáp án:
1. Từ giả thiết ta có $\displaystyle \overrightarrow{AB}=(2;-1;-2),\overrightarrow{CD}=(1;4;-1),\overrightarrow{AD}=(2;2;1)$ , $\displaystyle \overrightarrow{AC}=(1;-2;2)$
Suy ra $\displaystyle \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=2.1+(-1).4+(-2).(-1)=0$ Vậy $\displaystyle AB⊥CD$ .
2. Ta có $\displaystyle \widehat{AMD}=(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{MD})$ .
Vì $\displaystyle M$ là trung điểm của BC, ta có tọa độ điểm $\displaystyle M\left ( { \frac{5}{2};\frac{3}{2};-2 } \right )$ .
Suy ra $\displaystyle \overrightarrow{MA}=\left ( { -\frac{3}{2};\frac{3}{2};0 } \right )$ và $\displaystyle \overrightarrow{MD}=\left ( { \frac{1}{2};\frac{7}{2};1 } \right )$ .
Từ đó ta có: $\displaystyle cos(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MD})=\frac{-\frac{3}{2}.\frac{1}{2}+\frac{3}{2}.\frac{7}{2}+0.1}{\sqrt{\left ( { -\frac{3}{2} } \right )^{2}+\left ( { \frac{3}{2} } \right )^{2}+0^{2}}.\sqrt{\left ( { \frac{1}{2} } \right )^{2}+\left ( { \frac{7}{2} } \right )^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ .
Suy ra $\displaystyle (\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MD})=54,74^{°}≈55^{°}$ .
3. Ta có $\displaystyle [\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]=(2;2;1)$ , khi đó $\displaystyle \|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}\|=9$ .
Ta có thể tích của khối tứ diện
$\displaystyle V_{ABCD}=\frac{1}{6}\|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}\|=\frac{1}{6}.9=3$
4. Ta cần tính độ dài ba cạnh của tam giác.
$\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{CD}=(1;4;-1)⇒CD=\|\overrightarrow{CD}\|=\sqrt{1^{2}+4^{2}+(-1)^{2}}=3\sqrt{2}. \\ BC=\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{(2-3)^{2}+(1-2)^{2}+(0-(-4))^{2}}=3\sqrt{2}. \\ BD=\|\overrightarrow{BD}\|=\sqrt{(3-3)^{2}+(5-2)^{2}+(-1-(-4))^{2}}=3\sqrt{2}. \end{array}$
Vậy tam giác BCD là tam giác đều.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi