Đăng nhập Đăng ký

ID: 20765

Nhận biết (M1)
Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau tại cùng một thời điểm. Một con bay trên quỹ đạo đường thẳng từ điểm $\displaystyle A(0;0)$ đến điểm $\displaystyle B(0;100)$ với vận tốc $5 \text{m}\text{/}\text{s} $\displaystyle . Con còn lại bay trên quỹ đạo đường thẳng từ điểm$ C(60;80) $\displaystyle về điểm$ A(0;0) $\displaystyle với vận tốc$ 10 \text{m}\text{/}\text{s}$. Hỏi trong quá trình bay thì khoảng cách ngắn nhất hai con đạt được là bao nhiêu?

Giải thích đáp án:
Hình minh họa
Xét tại thời điểm $\displaystyle t$
Tọa độ con chuồn chuồn bay từ $\displaystyle A$ đến $\displaystyle B$ là $\displaystyle (0;100-5t)$
Con chuồn chuồn bay từ $\displaystyle C$ về $\displaystyle A$ trên đường thẳng AC. Đường thẳng AC có hệ số góc là $\displaystyle k=tanα=\frac{4}{3}$ . Tọa độ của con chuồn chuồn này là :
$\displaystyle \left. ⇒ \begin{array}{l} \begin{array}{c} \end{array}x=60-10t.cosα=60-10t.\frac{3}{5}=60-6ty=80-10t.sinα=80-10t.\frac{4}{5}=80-8t \end{array} \right (\{$
Vậy khoảng cách giữa 2 con chuồn chuồn tại thời điểm $\displaystyle t$ là :
$\displaystyle \begin{array}{l} d=\sqrt{(60-6t)^{2}+(80-8t-100+5t)^{2}} \\ =\sqrt{(60-6t)^{2}+(-20-3t)^{2}}=\sqrt{(60-6t)^{2}+(20+3t)^{2}} \\ =\sqrt{5(3t-20)^{2}+2000} \end{array}$
Cách 1: Ta có :
$\displaystyle 5(3t-20)^{2}≥0⇒5(3t-20)^{2}+2000≥2000⇒\sqrt{5(3t-20)^{2}+2000}≥\sqrt{2000}⇔d≥\sqrt{2000}$
Vậy khoảng cách giữa hai con chuồn chuồn ngắn nhất là $\displaystyle \sqrt{2000}=20\sqrt{5}$ khi $\displaystyle t=\frac{20}{3}$
Cách 2 : Tìm GTNN của hàm số $\displaystyle y=(60-6t)^{2}+(20+3t)^{2}=45t^{2}-600t+4000$ trên [0;10]
$\displaystyle \begin{array}{l} y^{′}=90t-600 \\ y^{′}=0⇒t=\frac{20}{3}∈[0;10] \\ y_{(t=0)}=4000,y_{(t=10)}=2500,y_{\left ( { t=\frac{20}{3} } \right )}=2000 \end{array}$
$\displaystyle ⇒$ GTNN của hàm số $\displaystyle y=(60-6t)^{2}+(20+3t)^{2}=45t^{2}-600t+4000$ trên [0; 10] là $\displaystyle y=2000$ tại $\displaystyle t=\frac{20}{3}$
Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai con chuồn chuồn là $\displaystyle d=20\sqrt{5}$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi