Đăng nhập Đăng ký

ID: 20864

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\displaystyle \mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $\displaystyle y=f^{′}(x)$ như hình vẽ. Đặt $\displaystyle g(x)=f(x-m)-\frac{1}{2}(x-m-1)^{2}+2025$ với $\displaystyle m$ là tham số thực. Gọi $\displaystyle S$ là tập các giá trị nguyên dương của $\displaystyle m$ để hàm số $\displaystyle y=g(x)$ đồng biến trên khoảng $\displaystyle (5;6)$ .
Tổng các phần tử của $\displaystyle S$ là _______.
Đáp án đúng là "14"
Phương pháp giải
- Tính đạo hàm hàm số $\displaystyle y=g(x)$ . Dùng điều kiện đơn điệu để giải
- Dùng hàm đặc trưng và xét tương giao

Đáp án đúng:
Giải thích đáp án:
$\displaystyle \begin{array}{l} g(x)=f(x-m)-\frac{1}{2}(x-m-1)^{2}+2025 \\ ⇒g^{′}(x)=f^{′}(x-m)-x+m+1 \end{array}$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\displaystyle (5;6)$
$\displaystyle \begin{array}{l} ⇒g^{′}(x)>0\,\,∀x∈(5;6) \\ ⇔f^{′}(x-m)>x-m-1∀x∈(5;6) \end{array}$
Đặt $\displaystyle t=x-m⇒f^{′}(t)>t-1$
Xét sự tương giao của 2 đồ thị hàm số $\displaystyle y=f^{′}(t)$ và $\displaystyle y=t-1$
Vẽ đường thẳng: $\displaystyle y=t-1$
Dựa vào đồ thị ta có: $\displaystyle f^{′}(t)>t-1⇔ { \begin{array}{c} \end{array}-1 < t < 1t>3 } [$
Khi đó $\displaystyle g^{′}(x)>0⇔\left. ⇔ { \begin{array}{c} \end{array}-1 < x-m < 1x-m>3 } \right. { \begin{array}{c} \end{array}m-1 < x < 1+mx>3+m } [$
Để hàm số đồng biến trên khoảng $\displaystyle (5;6)$
$\displaystyle ⇒\left. 3+m≤5 { \begin{array}{c} \end{array}\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{c} \end{array}m-1≤51+m≥6 \end{array} \right .\{ } ⇔ { \begin{array}{c} \end{array}m≤2\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{c} \end{array}m≥5m≤6 \end{array} \right .\{ } [\right.$
Mà $\displaystyle m$ nguyên dương $\displaystyle ⇒m∈\{1;2;5;6\}$
$\displaystyle ⇒S=\{1;2;5;6\}$
Tổng các phần tử của $\displaystyle S$ bằng 14

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi