Đăng nhập Đăng ký

ID: 20874

Nhận biết (M1)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng $\displaystyle a,$ $\displaystyle SA⊥(ABC)$ và $\displaystyle SA=2a$ .
Những khẳng định đúng là:
🞏 a. Khoảng cách từ điểm $\displaystyle B$ đến mặt phẳng $\displaystyle (SAC)$ là $\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}$
🞏 b. Khoảng cách từ điểm $\displaystyle A$ đến mặt phẳng $\displaystyle (SBC)$ là $\displaystyle \frac{a\sqrt{15}}{\sqrt{19}}$
🞏 c. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC là $\displaystyle \frac{2a\sqrt{57}}{19}$
Đáp án
🗹 a. Khoảng cách từ điểm $\displaystyle B$ đến mặt phẳng $\displaystyle (SAC)$ là $\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}$
🞏 b. Khoảng cách từ điểm $\displaystyle A$ đến mặt phẳng $\displaystyle (SBC)$ là $\displaystyle \frac{a\sqrt{15}}{\sqrt{19}}$
🗹 c. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC là $\displaystyle \frac{2a\sqrt{57}}{19}$
Phương pháp giải
- Xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng
- Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song với d′ từ đó xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng thông qua khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song

Đáp án đúng:
Giải thích đáp án:
a. Kẻ $\displaystyle BH⊥AC$ tại $\displaystyle H$ , mà $\displaystyle SA⊥(ABC)$ nên $\displaystyle SA⊥BH$
Xét BH và mặt phẳng $\displaystyle (SAC)$ có:
$\displaystyle \left \} \begin{array}{l} \begin{array}{c} BH⊥AC \\ BH⊥SA \\ AC,SA⊂(SAC) \end{array} \end{array} \right .⇒BH⊥(SAC)$
$\displaystyle ⇒d(B,(SAC))=BH$
Tính BH
Vì $\displaystyle ΔABC$ là tam giác đều $\displaystyle ⇒H$ là trung điểm AC
Xét $\displaystyle ΔBHC$ vuông tại $\displaystyle H$ có: $\displaystyle BH=\sqrt{BC^{2}-HC^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
b. Trong mặt phẳng $\displaystyle (ABC)$ , kẻ $\displaystyle AM⊥BC$ tại $\displaystyle M$
Trong mặt phẳng $\displaystyle (SAM)$ $\displaystyle AK⊥SM$ tại $\displaystyle K$
Xét BC và $\displaystyle (SAM)$ có:
$\displaystyle \left \} \begin{array}{l} \begin{array}{c} SA⊥BC \\ AM⊥BC \\ SA,AM⊂(SAM) \end{array} \end{array} \right .⇒BC⊥(SAM)⇒BC⊥AK$
Xét AK và $\displaystyle (SBC)$ có:
$\displaystyle \left \} \begin{array}{l} \begin{array}{c} AK⊥BC \\ AK⊥SM \\ BC,SM⊂(SBC) \end{array} \end{array} \right .⇒AK⊥(SBC)$
$\displaystyle ⇒d(A;(SBC))=AK$
Xét tam giác SAM vuông tại $\displaystyle A$ có AK là đường cao $\displaystyle ⇒\frac{1}{AK^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AM^{2}}=\frac{19}{12a^{2}}$ $\displaystyle ⇒AK=\frac{2a\sqrt{57}}{19}$
c. Dựng hình bình hành ABCD
Ta có: $\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{c} \end{array}AB//DCDC⊂(SCD) \end{array} \right .\}⇒AB//(SCD)$
$\displaystyle ⇒d(AB,SC)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))$
Trong mặt phẳng $\displaystyle (ABCD)$ kẻ $\displaystyle AN⊥DC$ , trong mặt phẳng $\displaystyle (SAN)$ kẻ $\displaystyle AQ⊥SN$
Chứng minh tương tự câu b, ta có: $\displaystyle AQ⊥(SDC)⇒d(A,(SDC))=AQ$
Xét $\displaystyle ΔSAN:\frac{1}{AQ^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AD^{2}-DN^{2}}=\frac{19}{12a^{2}}$
$\displaystyle ⇒AQ=\frac{2a\sqrt{57}}{19}$

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi