Đăng nhập Đăng ký

ID: 21313

Nhận biết (M1)
Biết $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{dx}{(x + 1)\sqrt{x} - x\sqrt{x + 1}} = a\sqrt{b} - a$ với $\displaystyle a, b, c$ là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức $\displaystyle P = b - a$ .

Giải thích đáp án:
Ta có $\displaystyle I = \int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x(x + 1)}(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x})}$ .
Lại có: $\displaystyle \sqrt{x(x + 1)}(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) = 1 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}} = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x}$
$\displaystyle \Rightarrow I = \int_{1}^{2} \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}{\sqrt{x(x + 1)}}dx = \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \right)dx = 2 \left( \int_{1}^{2} \frac{dx}{2\sqrt{x}} + \int_{1}^{2} \frac{d(x + 1)}{2\sqrt{x + 1}} \right) = (2\sqrt{x} + 2\sqrt{x + 1}) \Bigg|_{1}^{2} = 2\sqrt{3} - 2$ .
Suy ra $\displaystyle a = 2; b = 3 \Rightarrow P = b - a = 1$ . Chọn D.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi