Đăng nhập Đăng ký

ID: 21332

Nhận biết (M1)
Biết $\displaystyle I = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x(x + 1)^2} e^{1 + \frac{1}{x}} dx = \frac{1}{a} e^a - \frac{1}{b} e^b$ , biết $\displaystyle a,b$ là các số nguyên dương. Tính $\displaystyle T = \log 6000a - \log b$ .

Giải thích đáp án:
Chọn C
$\displaystyle I = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{x(x + 1)} - \frac{1}{(x + 1)^2} \right) e^{1 + \frac{1}{x}} dx = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x(x + 1)} e^{1 + \frac{1}{x}} dx - \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{(x + 1)^2} e^{1 + \frac{1}{x}} dx$
Xét $\displaystyle N = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{(x + 1)^2} e^{1 + \frac{1}{x}} dx$
Đặt: $\displaystyle \begin{cases} u = e^{1 + \frac{1}{x}} \\ dv = \frac{1}{(x + 1)^2} dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = -\frac{1}{x^2} e^{1 + \frac{1}{x}} dx \\ v = \frac{x}{x + 1} \end{cases}$
Ta có: $\displaystyle N = \frac{x}{x + 1} e^{1 + \frac{1}{x}} \Bigg|_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} + \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{1}{x^2} e^{1 + \frac{1}{x}} dx = \frac{1}{3} e^3 - \frac{1}{5} e^5 + \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x(x + 1)} e^{1 + \frac{1}{x}} dx$ .
Suy ra $\displaystyle I = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x(x + 1)} e^{1 + \frac{1}{x}} dx - \left( \frac{1}{3} e^3 - \frac{1}{5} e^5 + \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x(x + 1)} e^{1 + \frac{1}{x}} dx \right) = \frac{1}{5} e^5 - \frac{1}{3} e^3$ .
Vậy $\displaystyle a = 5, b = 3 \Rightarrow T = \log(6000 \cdot 5) - \log 3 = \log 10000 = 4$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi