Đăng nhập Đăng ký

ID: 21333

Nhận biết (M1)
Cho tích phân $\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \cdot e^x dx = e^a + b$ với $\displaystyle b$ là số nguyên. Tính giá trị của biểu thức $\displaystyle S = 2a + b$ .

Giải thích đáp án:
Ta có $\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \cdot e^x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^x}{1 + \cos x} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \cos x} e^x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^x}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} e^x dx$
$\displaystyle = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^x}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan \frac{x}{2} \cdot e^x dx$
Đặt $\displaystyle \begin{cases} u = e^x \\ dv = \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = e^x dx \\ v = \tan \frac{x}{2} \end{cases}$
Do đó $\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^x}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan \frac{x}{2} \cdot e^x dx = \left( \tan \frac{x}{2} \cdot e^x \right) \Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan \frac{x}{2} \cdot e^x dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan \frac{x}{2} \cdot e^x dx = e^{\frac{\pi}{2}}$ .
Vậy $\displaystyle S = 2a + b = 2 \cdot \frac{\pi}{2} + 0 = \pi$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi