Đăng nhập Đăng ký

ID: 21334

Nhận biết (M1)
Biết $\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x (x\sin x + x^2 \cos x)dx = \frac{a\pi^b}{c}$ với $\displaystyle a,b,c \in \mathbb{Z}, c \neq 0$ . Tính $\displaystyle a + b + c$ .

Giải thích đáp án:
Ta có $\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x (x\sin x + x^2 \cos x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\sin^2 x dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \cos x dx = A + B$ .
Xét $\displaystyle A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\sin^2 x dx$ .
Đặt $\displaystyle \begin{cases} u = \sin^2 x \\ dv = xdx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = 2\sin x \cos x dx \\ v = \frac{x^2}{2} \end{cases}$ .
Suy ra $\displaystyle A = \frac{x^2}{2} \sin^2 x \Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \cos x dx = \frac{\pi^2}{8} - B$ .
Vậy $\displaystyle I = A + B \Leftrightarrow I = \frac{\pi^2}{8} - B + B \Leftrightarrow I = \frac{\pi^2}{8}$ . Do đó $\displaystyle a = 1; b = 2; c = 8 \Rightarrow a + b + c = 11$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi