Đăng nhập Đăng ký

ID: 21821

Nhận biết (M1)
Tìm hai chữ số tận cùng của tổng $\displaystyle S_1 = 1^{2002} + 2^{2002} + 3^{2002} + ... + 2004^{2002}$ .

Giải thích đáp án:
Dễ thấy, nếu $\displaystyle a$ chẵn thì $\displaystyle a^2 \vdots 4$ ; nếu $\displaystyle a$ lẻ thì $\displaystyle a^{100} - 1 \vdots 4$ ; nếu $\displaystyle a \vdots 5$ thì $\displaystyle a^2 \vdots 25$ .
Mặt khác, với mọi $\displaystyle a \in \mathbb{N}$ và $\displaystyle (a, 5) = 1$ ta có $\displaystyle a^{100} - 1 \vdots 25$ .
Vậy với mọi $\displaystyle a \in \mathbb{N}$ ta có $\displaystyle a^2(a^{100} - 1) \vdots 100$ .
Do đó $\displaystyle S_1 = 1^{2002} + 2^2(2^{2000} - 1) + ... + 2004^2(2004^{2000} - 1) + 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 2004^2$ .
Nên hai chữ số tận cùng của tổng $\displaystyle S_1$ cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng $\displaystyle 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 2004^2$ .
Ta có: $\displaystyle 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ .
$\displaystyle \Rightarrow 1^2 + 2^2 + ... + 2004^2 = 2005 \times 4009 \times 334 = 2684707030$ , tận cùng là $\displaystyle 30$ .
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng $\displaystyle S_1$ là $\displaystyle 30$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi