Đăng nhập Đăng ký

ID: 22008

Nhận biết (M1)
Tìm điều kiện của số tự nhiên $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle (n \cdot 2^n + 1) \vdots 3$ .

Giải thích đáp án:
Ta xét các trường hợp:
* Trường hợp 1: Nếu $\displaystyle n = 3k \ (k \in \mathbb{N}) \Rightarrow n \cdot 2^n \vdots 3 \Rightarrow n \cdot 2^n + 1 \not\vdots 3 \Rightarrow$ loại.
* Trường hợp 2: Nếu $\displaystyle n= 3k + 1 \ (k \in \mathbb{N}) \Rightarrow n \cdot 2^n + 1 = (3k + 1) \cdot 2^{3k+1} + 1 = 3k \cdot 2^{3k+1} + 2^{3k+1} + 1 = 3k \cdot 2^{3k+1} + 2 \cdot 8^k + 1$
$\displaystyle \Rightarrow n \cdot 2^n + 1 \vdots 3 \Leftrightarrow (2 \cdot 8^k + 1) \vdots 3$ . Mà $\displaystyle 8\equiv -1 \pmod 3 \Rightarrow 8^k \equiv (-1)^k \pmod 3$
$\displaystyle \Rightarrow 2 \cdot 8^k + 1 \vdots 3 \Leftrightarrow 2 \cdot (-1)^k + 1 \equiv 0 \pmod 3 \Leftrightarrow k$ chẵn $\displaystyle \Leftrightarrow k = 2m \ (m \in \mathbb{N}) \Rightarrow n = 6m + 1 \ (m \in \mathbb{N})$ .
* Trường hợp 3: Nếu $\displaystyle n = 3k + 2 \ (k \in \mathbb{N}) \Rightarrow n \cdot 2^n + 1 = (3k + 2) \cdot 2^{3k+2} + 1 = 3k \cdot 2^{3k+2} + 8^{k+1} + 1$
$\displaystyle \Rightarrow (n \cdot 2^n + 1) \vdots 3 \Leftrightarrow (-1)^{k+1} + 1 \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow k + 1$ lẻ $\displaystyle \Rightarrow k = 2m \ (m \in \mathbb{N}) \Rightarrow n = 6m + 2 \ (m \in \mathbb{N})$ .
Vậy điều kiện cần tìm là $\displaystyle n \equiv 1 \pmod 6$ hoặc $\displaystyle n \equiv 2 \pmod 6$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi