Đăng nhập Đăng ký

ID: 22012

Nhận biết (M1)
Giả sử $\displaystyle 2n+1$ và $\displaystyle 3n+1$ là các số chính phương với $\displaystyle n \in \mathbb{N}^$ . Hỏi $\displaystyle 5n+3$ là số nguyên tố hay hợp số?

Giải thích đáp án:
Giả sử $\displaystyle 2n+1 = a^2$ và $\displaystyle 3n+1 = b^2$ với $\displaystyle a, b \in \mathbb{N}^$ .
Khi đó $\displaystyle 5n+3 = 4(2n+1) - (3n+1) = 4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$ .
Do $\displaystyle a^2 = 2n+1 \equiv 1 \pmod 2 \Rightarrow a^2 \equiv 1 \pmod 4 \Rightarrow 2n \equiv 0 \pmod 4 \Rightarrow n$ chẵn $\displaystyle \Rightarrow n \equiv 0 \pmod 2$ .
Suy ra $\displaystyle b^2 = 3n+1 \equiv 1 \pmod 2 \Rightarrow b$ lẻ $\displaystyle \Rightarrow b \equiv 1 \pmod 2$ .
Do đó $\displaystyle 2a - b > 1$ và $\displaystyle 2a + b > 1$ .
Vậy $\displaystyle 5n+3$ là tích của hai số tự nhiên lớn hơn $\displaystyle 1$ nên $\displaystyle 5n+3$ là hợp số.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi