Đăng nhập Đăng ký

ID: 22013

Nhận biết (M1)
Tìm nghiệm nguyên dương $\displaystyle x$ để $\displaystyle 3^x + 171$ là số chính phương. Đáp án: $\displaystyle x =$

`1`
Giải thích đáp án:
Đặt $\displaystyle 3^x + 171 = y^2 \ (y \in \mathbb{N}^)$ .
Ta có: $\displaystyle 3^x \equiv 1, 3 \pmod 8$ ; $\displaystyle y^2 \equiv 0, 1, 4 \pmod 8$ .
Mà $\displaystyle 3^x + 171 = y^2 \Rightarrow 3^x + 3 \equiv y^2 \pmod 8 \Rightarrow 3^x \equiv 1 \pmod 8$ .
Do đó $\displaystyle x$ có dạng $\displaystyle 2k \ (k \in \mathbb{N}^)$ .
Phương trình trở thành $\displaystyle (3^k)^2 + 171 = y^2$ .
Với $\displaystyle k = 1, 2$ thử lại phương trình vô nghiệm.
Nên nếu phương trình có nghiệm thì $\displaystyle k \ge 3$ .
Theo nguyên lý kẹp ta có: $\displaystyle \left((3^k)^2 + 3\right)^2 \ge y^2 > (3^k)^2$ .
Khi đó: $\displaystyle y^2 = \left((3^k)^2 + 3\right)^2$ hoặc $\displaystyle y^2 = \left((3^k)^2 + 2\right)^2$ hoặc $\displaystyle y^2 = \left((3^k)^2 + 1\right)^2$ .
Giải từng trường hợp ta tìm được $\displaystyle k = 3 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow y = 30$ .
Vậy $\displaystyle x = 6$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi