Đăng nhập Đăng ký

ID: 22015

Nhận biết (M1)
Cho $\displaystyle p$ là số nguyên tố. Khẳng định nào sau đây là đúng về sự tồn tại của số tự nhiên $\displaystyle n$ sao cho $\displaystyle 2^n - n \vdots p$ ?

Giải thích đáp án:
Ta xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1: Nếu $\displaystyle p = 2 \Rightarrow 2^n - n \vdots 2$ đúng với mọi $\displaystyle n = 2k \ (k \in \mathbb{N})$ .
* Trường hợp 2: Nếu $\displaystyle p > 2 \Rightarrow 2^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ .
Theo định lý Fermat $\displaystyle \Rightarrow 2^{(p-1)k} - (p-1)k \equiv 1 + k \pmod p \ (\forall k \in \mathbb{N})$ .
Do đó với mọi số tự nhiên $\displaystyle n$ có dạng $\displaystyle n = (p-1)(kp - 1) \ (k \in \mathbb{N}^*)$ , ta có $\displaystyle 2^n - n \equiv 1 + (kp - 1) \equiv 0 \pmod p$ , tức là $\displaystyle 2^n - n \vdots p$ .
Vậy luôn tồn tại vô số số tự nhiên $\displaystyle n$ thỏa mãn.

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi