Đăng nhập Đăng ký

ID: 22017

Nhận biết (M1)
Cho $\displaystyle p$ là số nguyên tố lớn hơn $\displaystyle 8$ . Giá trị của biểu thức $\displaystyle A = 3^p - 2^p - 1$ luôn chia hết cho số nào sau đây?

Giải thích đáp án:
Ta có $\displaystyle 42p = 2\cdot 3 \cdot 7 \cdot p$ . Để chứng minh $\displaystyle A = 3^p - 2^p - 1 \vdots 42p$ , ta chứng minh $\displaystyle A$ chia hết cho $\displaystyle 2,3,7$ và $\displaystyle p$ .
* Vì $\displaystyle p$ là số nguyên tố lẻ ( $\displaystyle p > 8$ ):
* $\displaystyle A \equiv 1^p - 0 - 1 = 0 \pmod 2 \Rightarrow A \vdots 2$ .
* Đặt $\displaystyle p = 2k + 1 \Rightarrow A = 3^p - 2^{2k+1} - 1 \equiv 0 - 4^k \cdot 2 - 1 \equiv -1 \cdot 2 - 1 = -3 \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow A \vdots 3$ .
* Với mô-đun $\displaystyle 7$ : $\displaystyle A = 3^{2k+1} - 2^{2k+1} - 1 = 3 \cdot 9^k - 2^{2k+1} - 1 \equiv 3 \cdot 2^k - 2^{2k+1} - 1 \equiv -(2^k - 1)(2^{2k+1} - 1) \pmod 7$ .
Do $\displaystyle p = 2k + 1$ không chia hết cho $\displaystyle 3\Rightarrow k \vdots 3$ hoặc $\displaystyle k + 1 \vdots 3$ .
* Nếu $\displaystyle k \vdots 3 \Rightarrow k = 3h \Rightarrow 2^k - 1 = 8^h - 1 \vdots 7$ .
* Nếu $\displaystyle k + 1 \vdots 3 \Rightarrow 2^{k+1} - 1 \vdots 7 \Rightarrow 2^{2k+1} - 1 \vdots 7$ .
Do đó $\displaystyle A \vdots 7$ trong mọi trường hợp.
* Theo định lý Fermat: $\displaystyle A = 3^p - 2^p - 1 = (3^p - 3) - (2^p - 2) \vdots p$ .
Vì $\displaystyle 2,3,7,p$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $\displaystyle A \vdots (2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot p) = 42p$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi