Đăng nhập Đăng ký

ID: 22020

Nhận biết (M1)
Cho $\displaystyle a, b \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $\displaystyle (a, b) = 1$ . Giá trị của $\displaystyle a^3 - 2b^3$ có chia hết cho $\displaystyle 19$ hay không?

Giải thích đáp án:
Ta chứng minh bằng phản chứng:
Giả sử $\displaystyle (a^3 - 2b^3) \vdots 19$ , khi đó $\displaystyle (a^3)^6 - (2b^3)^6 \vdots (a^3 - 2b^3) \vdots 19$ .
Mặt khác $\displaystyle (a^3)^6 - (2b^3)^6 = a^{18} - 64b^{18}$ .
* Nếu $\displaystyle a, b$ không chia hết cho $\displaystyle 19$ , theo định lý Fermat nhỏ: $\displaystyle a^{18} \equiv b^{18} \equiv 1 \pmod{19}$ .
$\displaystyle \Rightarrow a^{18} - 64b^{18} \equiv 1 - 64 = -63 \not\vdots 19$ (Vô lý).
* Nếu một trong hai số chia hết cho $\displaystyle 19$ , từ $\displaystyle (a^3 - 2b^3) \vdots 19 \Rightarrow \begin{cases} a \vdots 19 \\ b \vdots 19 \end{cases} \Rightarrow$ vô lý vì $\displaystyle (a, b) = 1$ .
Vậy $\displaystyle a^3 - 2b^3$ không chia hết cho $\displaystyle 19$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi