Đăng nhập Đăng ký

ID: 22021

Nhận biết (M1)
Với mọi số tự nhiên $\displaystyle n$ , giá trị của biểu thức $\displaystyle A = 2^{3^{4n+1}} + 3^{2^{4n+1}} + 2007$ chia hết cho số nào dưới đây?

Giải thích đáp án:
* Theo định lý Fermat nhỏ: $\displaystyle 2^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ và $\displaystyle 3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ .
* Ta có $\displaystyle 3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{10} \Rightarrow 3^{4n+1} = 3 \cdot (3^4)^n \equiv 3 \pmod{10} \Rightarrow 3^{4n+1} = 10k + 3 \ (k \in \mathbb{N})$ .
* Mặt khác $\displaystyle 2^4 = 16 \equiv 1 \pmod 5 \Rightarrow 2^{4n} \equiv 1 \pmod 5 \Rightarrow 2^{4n+1} = 2 \cdot (2^4)^n \equiv 2 \pmod{10} \Rightarrow 2^{4n+1} = 10t + 2 \ (t \in \mathbb{N})$ .
Do đó: $\displaystyle A = 2^{10k+3} + 3^{10t+2} + 2002 + 5 = 2^3 \cdot (2^{10})^k + 3^2 \cdot (3^{10})^t + 22 \cdot 91 + 5$
$\displaystyle \equiv 2^3 + 3^2 + 0 + 5 = 8 + 9 + 5 = 22 \equiv 0 \pmod{11} \Rightarrow A \vdots 11$ .
* Đồng thời $\displaystyle A \vdots 2$ vì $\displaystyle 2^{3^{4n+1}}$ là số chẵn, $\displaystyle 3^{2^{4n+1}}$ là số lẻ và $\displaystyle 2007$ là số lẻ (chẵn + lẻ + lẻ = chẵn).
Do $\displaystyle (2; 11) = 1$ nên $\displaystyle A \vdots (2 \cdot 11) = 22$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi