Đăng nhập Đăng ký

ID: 22022

Nhận biết (M1)
Cho $\displaystyle a_1, a_2,..., a_{2016}$ là các số nguyên dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Giải thích đáp án:
Theo định lý Fermat nhỏ, với mọi số nguyên dương $\displaystyle a$ :
* Với mô-đun $\displaystyle 2$ : $\displaystyle a^2 \equiv a \pmod 2 \Rightarrow a^4 \equiv a^2 \equiv a \pmod 2 \Rightarrow a^5 \equiv a \pmod 2$
* Với mô-đun $\displaystyle 3$ : $\displaystyle a^3 \equiv a \pmod 3 \Rightarrow a^5 = a^3 \cdot a^2 \equiv a \cdot a^2 = a^3 \equiv a \pmod 3$
* Với mô-đun $\displaystyle 5$ : $\displaystyle a^5 \equiv a \pmod 5$
Vì $\displaystyle 2,3,5$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $\displaystyle a^5\equiv a \pmod{2 \cdot 3 \cdot 5} \Leftrightarrow a^5 \equiv a \pmod{30} \Rightarrow a^5 - a \equiv 0 \pmod{30}$ .
Do đó:
$\displaystyle (a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2016}^5) - (a_1 + a_2 + ... + a_{2016}) = \sum_{i=1}^{2016} (a_i^5 - a_i) \vdots 30$ .
Vậy $\displaystyle a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2016}^5 \vdots 30 \Leftrightarrow a_1 + a_2 + ... + a_{2016} \vdots 30$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi