Đăng nhập Đăng ký

ID: 22190

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle f(x)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $\displaystyle (-1; +\infty)$ và thỏa mãn đẳng thức $\displaystyle 2f(x) + (x^2 - 1)f'(x) = \frac{x^3 + 2x^2 + x}{\sqrt{x^2 + 3}}$ với mọi $\displaystyle x \in (-1; +\infty)$ . Giá trị của $\displaystyle f(0)$ bằng

Giải thích đáp án:
+) Từ giả thiết, ta có $\displaystyle 2f(x) + (x^2 - 1)f'(x) = \frac{x^3 + 2x^2 + x}{\sqrt{x^2 + 3}} \Rightarrow 2f(x) + (x - 1)(x + 1)f'(x) = \frac{x(x + 1)^2}{\sqrt{x^2 + 3}} \Rightarrow \frac{2f(x)}{(x + 1)^2} + \frac{x - 1}{x + 1}f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} \Rightarrow \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)' f(x) + \frac{x - 1}{x + 1} f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}}$
$\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{x - 1}{x + 1} \cdot f(x)\right)' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} \Rightarrow \frac{x - 1}{x + 1} \cdot f(x) = \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} dx \Rightarrow \frac{x - 1}{x + 1} \cdot f(x) = \sqrt{x^2 + 3} + C$ ()
+) Lại có () thỏa mãn với mọi $\displaystyle x \in (-1; +\infty)$ nên thay $\displaystyle x = 1$ vào (*) ta có $\displaystyle C = -2$ .
Suy ra $\displaystyle \frac{x - 1}{x + 1} \cdot f(x) = \sqrt{x^2 + 3} - 2$ . Do đó $\displaystyle f(0) = 2 - \sqrt{3}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi