Đăng nhập Đăng ký

ID: 22191

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle f(x)$ thỏa mãn $\displaystyle [f'(x)]^2 + f(x) \cdot f''(x) = 4x^3 + 2x$ với mọi $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ và $\displaystyle f(0) = 0$ . Giá trị của $\displaystyle f^2(1)$ bằng

Giải thích đáp án:
Ta có: $\displaystyle [f'(x)]^2 + f(x) \cdot f''(x) = [f(x) \cdot f'(x)]'$ . Từ giả thiết ta có: $\displaystyle [f(x) \cdot f'(x)]' = 4x^3 + 2x$
Suy ra: $\displaystyle f(x) \cdot f'(x) = \int (4x^3 + 2x) dx = x^4 + x^2 + C$ . Với $\displaystyle f(0) = 0 \Rightarrow C = 0$
Nên ta có: $\displaystyle f(x) \cdot f'(x) = x^4 + x^2$
Suy ra: $\displaystyle \int_0^1 f(x) \cdot f'(x) dx = \int_0^1 (x^4 + x^2) dx \Leftrightarrow \left. \frac{f^2(x)}{2} \right|_0^1 = \frac{8}{15} \Rightarrow f^2(1) = \frac{16}{15}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi