Đăng nhập Đăng ký

ID: 22192

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle f(x)$ liên tục trên $\displaystyle (0; +\infty)$ thỏa mãn: $\displaystyle 3x \cdot f(x) - x^2 \cdot f'(x) = 2 \cdot f^2(x)$ , với $\displaystyle f(x) \neq 0, \forall x \in (0; +\infty)$ và $\displaystyle f(1) = \frac{1}{3}$ . Gọi $\displaystyle M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $\displaystyle y = f(x)$ trên $\displaystyle [1; 2]$ . Tính $\displaystyle M + m$ .

Giải thích đáp án:
Ta có $\displaystyle 3x \cdot f(x) - x^2 \cdot f'(x) = 2 \cdot f^2(x) \Leftrightarrow 3x^2 \cdot f(x) - x^3 \cdot f'(x) = 2x \cdot f^2(x)$
$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{3x^2 \cdot f(x) - x^3 \cdot f'(x)}{f^2(x)} = 2x \Leftrightarrow \left( \frac{x^3}{f(x)} \right)' = 2x$
$\displaystyle \int \left( \frac{x^3}{f(x)} \right)' dx = \int 2x dx \Leftrightarrow \frac{x^3}{f(x)} = x^2 + C$
Do $\displaystyle f(1) = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{1 + C} \Rightarrow C = 2$ . Vậy $\displaystyle f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 2}$
Tìm được $\displaystyle M = f(2) = \frac{4}{3}, m = f(1) = \frac{1}{3} \Rightarrow M + m = \frac{5}{3}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi