Đăng nhập Đăng ký

ID: 22193

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle f(x)$ liên tục trên $\displaystyle \mathbb{R} \setminus \{0; -1\}$ , thỏa mãn $\displaystyle x(x + 1)f'(x) + f(x) = x^2 + x$ với mọi $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{0; -1\}$ và $\displaystyle f(1) = -2\ln 2$ . Biết $\displaystyle f(2) = a + b\ln 3$ với $\displaystyle a, b \in \mathbb{Q}$ , tính $\displaystyle P = a^2 + b^2$ .

Giải thích đáp án:
Từ giả thiết ta có $\displaystyle \frac{x}{x+1}f'(x) + \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{x}{x+1}, \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0; -1\}$ .
Nhận thấy $\displaystyle \frac{x}{x+1}f'(x) + \frac{1}{(x+1)^2} = \left[ f(x)\frac{x}{x+1} \right]', \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0; -1\}$ .
Do đó giả thiết tương đương với
$\displaystyle \left[ f(x)\frac{x}{x+1} \right]' = \frac{x}{x+1}, \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0; -1\}$ .
Suy ra $\displaystyle f(x)\frac{x}{x+1} = \int \frac{x}{x+1} dx = \int \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right) dx = x - \ln\vert{}x + 1\vert{} + C$ .
Mà $\displaystyle f(1) = -2\ln 2 \Rightarrow C = -1 \rightarrow f(x)\frac{x}{x+1} = x - \ln\vert{}x + 1\vert{} - 1$ .
Cho $\displaystyle x = 2$ ta được $\displaystyle f(2)\frac{2}{3} = 2 - \ln 3 - 1 \Rightarrow f(2) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\ln 3 \rightarrow a = \frac{3}{2}; b = -\frac{3}{2}$ .
Vậy $\displaystyle P = \frac{9}{2}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi