Đăng nhập Đăng ký

ID: 22195

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle f(x)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn $\displaystyle [0; 1]$ thỏa mãn $\displaystyle f(0) = 1$ và $\displaystyle [f'(x)]^2 - 16x^2 \cdot f(x) = 0$ với mọi $\displaystyle x \in [0; 1]$ . Giá trị của tích phân $\displaystyle I = \int_0^1 f(x)\text{d}x$ bằng

Giải thích đáp án:
+) Từ giả thiết, ta có $\displaystyle [f'(x)]^2 = 16x^2 \cdot f(x) \Rightarrow \frac{[f'(x)]^2}{4f(x)} = 4x^2 \Rightarrow \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} = 2x \Rightarrow \left[\sqrt{f(x)}\right]' = 2x \Rightarrow \sqrt{f(x)} = \int 2x\text{d}x \Rightarrow \sqrt{f(x)} = x^2 + C$ .
+) Lại có $\displaystyle f(0) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f(x) = (x^2 + 1)^2 \Rightarrow I = \int_0^1 f(x)\text{d}x = \int_0^1 (x^2 + 1)^2\text{d}x = \frac{28}{15}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi