Đăng nhập Đăng ký

ID: 22197

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle y = f(x)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên $\displaystyle \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle (f'(x))^2 = f(x) \cdot e^x, \forall x \in \mathbb{R}$ và $\displaystyle f(0) = 2$ . Khi đó $\displaystyle f(2)$ thuộc khoảng nào sau đây?

Giải thích đáp án:
Hàm số đồng biến trên $\displaystyle \mathbb{R}$ nên ta có $\displaystyle \begin{cases} f'(x) \ge 0 \\ f(x) > f(0), \forall x > 0 \end{cases}$
$\displaystyle \Rightarrow (f'(x))^2 = f(x) \cdot e^x \Leftrightarrow f'(x) = \sqrt{f(x)} \cdot e^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}$
$\displaystyle \Rightarrow \int_0^2 \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\text{d}x = \int_0^2 \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}\text{d}x \Leftrightarrow \left.\sqrt{f(x)}\right\vert{}_0^2 = \left.e^{\frac{x}{2}}\right\vert{}_0^2 \Leftrightarrow \sqrt{f(2)} - \sqrt{f(0)} = e - 1$
$\displaystyle \Rightarrow f(2) = (e + \sqrt{2} - 1)^2 \in (9; 10)$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi