Đăng nhập Đăng ký

ID: 22198

Nhận biết (M1)
Cho $\displaystyle f(x)$ có đạo hàm trên $\displaystyle \mathbb{R}$ và thỏa mãn $\displaystyle 3f'(x) \cdot e^{f^3(x) - x^2 - 1} - \frac{2x}{f^2(x)} = 0$ với mọi $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ . Biết $\displaystyle f(0) = 1$ , tính tích phân $\displaystyle I = \int_0^{\sqrt{7}} x \cdot f(x)\text{d}x$ .

Giải thích đáp án:
Ta có $\displaystyle 3f'(x) \cdot e^{f^3(x) - x^2 - 1} - \frac{2x}{f^2(x)} = 0 \Leftrightarrow 3f'(x) \cdot \frac{e^{f^3(x)}}{e^{x^2 + 1}} = \frac{2x}{f^2(x)} \Leftrightarrow 3f^2(x) \cdot f'(x) \cdot e^{f^3(x)} = 2x \cdot e^{x^2 + 1} \Leftrightarrow \left(e^{f^3(x)}\right)' = \left(e^{x^2 + 1}\right)' \Leftrightarrow e^{f^3(x)} = e^{x^2 + 1} + C$ ().
Thế $\displaystyle x = 0$ vào () ta được $\displaystyle e = e + C \Leftrightarrow C = 0$ .
Do đó $\displaystyle e^{f^3(x)} = e^{x^2 + 1} \Leftrightarrow f^3(x) = x^2 + 1 \Leftrightarrow f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 1}$ .
Vậy $\displaystyle I = \int_0^{\sqrt{7}} x\sqrt[3]{x^2 + 1}\text{d}x = \frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{7}} (x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}\text{d}(x^2 + 1) = \left. \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2 + 1)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right\vert{}_0^{\sqrt{7}} = \left. \frac{3}{8} (x^2 + 1)\sqrt[3]{x^2 + 1} \right\vert{}_0^{\sqrt{7}} = \frac{3}{8} \cdot (16 - 1) = \frac{45}{8}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi