Đăng nhập Đăng ký

ID: 22199

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\displaystyle \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f(0) = 0$ và $\displaystyle f'(x)\left(1 + e^{f(x)}\right) = 1 + e^x, \forall x \in \mathbb{R}$ . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $\displaystyle y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $\displaystyle x = 1, x = 3$ .

Giải thích đáp án:
+) Ta có $\displaystyle f'(x)\left(1 + e^{f(x)}\right) = 1 + e^x \Rightarrow f'(x) + f'(x)e^{f(x)} = 1 + e^x \Rightarrow \left[f(x) + e^{f(x)}\right]' = 1 + e^x \Rightarrow f(x) + e^{f(x)} = x + e^x + C$ .
+) Lại có $\displaystyle f(0) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) + e^{f(x)} = x + e^x$ .
Xét hàm số $\displaystyle g(t) = t + e^t$ với $\displaystyle t \in \mathbb{R}$ , $\displaystyle g'(t) = 1 + e^t > 0, \forall t \in \mathbb{R}$ nên $\displaystyle g(t)$ đồng biến trên $\displaystyle \mathbb{R}$ .
Suy ra $\displaystyle f(x) + e^{f(x)} = x + e^x \Rightarrow f(x) = x$ . Do đó $\displaystyle S = \int_1^3 x\text{d}x = \left. \frac{1}{2}x^2 \right\vert{}_1^3 = 4$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi