Đăng nhập Đăng ký

ID: 22200

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle f(x)$ liên tục trên $\displaystyle \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle \int_0^1 f(2x)\text{d}x = 2$ và $\displaystyle \int_0^2 f(6x)\text{d}x = 14$ . Tính $\displaystyle \int_{-2}^2 f(5\vert{}x\vert{} + 2)\text{d}x$ .

Giải thích đáp án:
* Xét $\displaystyle \int_0^1 f(2x)\text{d}x = 2$ . Đặt $\displaystyle u = 2x \Rightarrow \text{d}u = 2\text{d}x$ ; $\displaystyle x = 0 \Rightarrow u = 0$ ; $\displaystyle x = 1 \Rightarrow u = 2$ .
Nên $\displaystyle 2=\int_0^1 f(2x)\text{d}x = \frac{1}{2}\int_0^2 f(u)\text{d}u \Rightarrow \int_0^2 f(u)\text{d}u = 4$ .
* Xét $\displaystyle \int_0^2 f(6x)\text{d}x = 14$ . Đặt $\displaystyle v = 6x \Rightarrow \text{d}v = 6\text{d}x$ ; $\displaystyle x = 0 \Rightarrow v = 0$ ; $\displaystyle x = 2 \Rightarrow v = 12$ .
Nên $\displaystyle 14= \int_0^2 f(6x)\text{d}x = \frac{1}{6}\int_0^{12} f(v)\text{d}v \Rightarrow \int_0^{12} f(v)\text{d}v = 84$ .
* Xét $\displaystyle \int_{-2}^2 f(5\vert{}x\vert{} + 2)\text{d}x = \int_{-2}^0 f(5\vert{}x\vert{} + 2)\text{d}x + \int_0^2 f(5\vert{}x\vert{} + 2)\text{d}x$ .
* Tính $\displaystyle I_1 = \int_{-2}^0 f(5\vert{}x\vert{} + 2)\text{d}x$ .
Đặt t = 5|x| + 2. Khi $\displaystyle -2 < x < 0$ , $\displaystyle t = -5x + 2 \Rightarrow \text{d}t = -5\text{d}x$ ; $\displaystyle x = -2 \Rightarrow t = 12$ ; $\displaystyle x = 0 \Rightarrow t = 2$ .
$\displaystyle I_1 = \frac{-1}{5}\int_{12}^2 f(t)\text{d}t = \frac{1}{5}\left[\int_2^{12} f(t)\text{d}t - \int_0^2 f(t)\text{d}t\right] = \frac{1}{5}(84 - 4) = 16$ .
* Tính $\displaystyle I_2 = \int_0^2 f(5\vert{}x\vert{} + 2)\text{d}x$ .
Đặt $\displaystyle t = 5\vert{}x\vert{} + 2$ . Khi $\displaystyle 0< x < 2$ , $\displaystyle t = 5x + 2 \Rightarrow \text{d}t = 5\text{d}x$ ; $\displaystyle x = 2 \Rightarrow t = 12$ ; $\displaystyle x = 0 \Rightarrow t = 2$ .
$\displaystyle I_2 = \frac{1}{5}\int_2^{12} f(t)\text{d}t = \frac{1}{5}\left[\int_0^{12} f(t)\text{d}t - \int_0^2 f(t)\text{d}t\right] = \frac{1}{5}(84 - 4) = 16$ .
Vậy $\displaystyle \int_{-2}^2 f(5\vert{}x\vert{} + 2)\text{d}x = 32$ .
Hoặc: Do hàm $\displaystyle f(5\vert{}x\vert{} + 2)$ là hàm số chẵn nên $\displaystyle \int_{-2}^2 f(5\vert{}x\vert{} + 2)\text{d}x = 2\int_0^2 f(5\vert{}x\vert{} + 2)\text{d}x = 2 \cdot 16 = 32$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi