Đăng nhập Đăng ký

ID: 22203

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle y = f(x)$ liên tục trên $\displaystyle \mathbb{R}$ và thỏa mãn $\displaystyle f(4 - x) = f(x)$ . Biết $\displaystyle \int_1^3 xf(x)\text{d}x = 5$ . Tính $\displaystyle I = \int_1^3 f(x)\text{d}x$ .
Cho hàm số $\displaystyle y = f(x)$ liên tục trên $\displaystyle \mathbb{R}$ và thỏa mãn $\displaystyle f(4 - x) = f(x)$ . Biết $\displaystyle \int_1^3 xf(x)\text{d}x = 5$ . Tính $\displaystyle I = \int_1^3 f(x)\text{d}x$ .

Giải thích đáp án:
Cho hàm số $\displaystyle f(x)$ liên tục trên $\displaystyle [a; b]$ và thỏa mãn điều kiện $\displaystyle f(a + b - x) = f(x), \forall x \in [a; b]$ . Khi đó $\displaystyle \int_a^b xf(x)\text{d}x = \frac{a + b}{2}\int_a^b f(x)\text{d}x$ .
Chứng minh:
Đặt $\displaystyle t = a + b - x \Rightarrow \text{d}x = -\text{d}t$ , với $\displaystyle x \in [a; b]$ . Đổi cận: khi $\displaystyle x = a \Rightarrow t = b$ ; khi $\displaystyle x = b \Rightarrow t = a$ .
Ta có $\displaystyle \int_a^b xf(x)\text{d}x = \int_b^a xf(a + b - x)(-\text{d}t) = -\int_b^a (a + b - t)f(t)\text{d}t$
$\displaystyle = \int_a^b (a + b - t)f(t)\text{d}t = (a + b)\int_a^b f(t)\text{d}t - \int_a^b tf(t)\text{d}t = (a + b)\int_a^b f(x)\text{d}x - \int_a^b xf(x)\text{d}x$
$\displaystyle \Rightarrow 2\int_a^b xf(x)\text{d}x = (a + b)\int_a^b f(x)\text{d}x \Rightarrow \int_a^b xf(x)\text{d}x = \frac{a + b}{2}\int_a^b f(x)\text{d}x$ .
Áp dụng tính chất trên với $\displaystyle a = 1, b = 3$ .
$\displaystyle f(x)$ liên tục trên $\displaystyle [a; b]$ và thỏa mãn $\displaystyle f(1 + 3 - x) = f(x)$ .
Khi đó $\displaystyle \int_1^3 xf(x)\text{d}x = \frac{1 + 3}{2}\int_1^3 f(x)\text{d}x \Rightarrow \int_1^3 f(x)\text{d}x = \frac{5}{2}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi