Đăng nhập Đăng ký

ID: 22204

Nhận biết (M1)
Cho hàm số $\displaystyle y = f(x)$ liên tục trên $\displaystyle \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $\displaystyle 3f(x) - f(-x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}}$ .
Tích phân $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\text{d}x$ bằng

Giải thích đáp án:
Ta có $\displaystyle 3f(x) - f(-x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}}$ (1)
Thay $\displaystyle x = -t$ vào (1) ta có $\displaystyle 3f(-t) - f(t) = \frac{1}{\sqrt{t^2 + 3}}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ $\displaystyle \begin{cases} 3f(x) - f(-x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} \\ 3f(-x) - f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} \end{cases} \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 3}}$ .
Do đó ta có $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\text{d}x = \int_{-1}^1 \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 3}}\text{d}x$ .
Áp dụng:
$\displaystyle \left(\ln\left\vert{}\sqrt{x^2 + a} - x\right\vert{}\right)' = \frac{\left(\sqrt{x^2 + a} - x\right)'}{\sqrt{x^2 + a} - x} = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 + a}} - 1}{\sqrt{x^2 + a} - x} = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + a}} \Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a}}\text{d}x = -\ln\left\vert{}\sqrt{x^2 + a} - x\right\vert{} + C$
ta có $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\text{d}x = \int_{-1}^1 \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 3}}\text{d}x = -\frac{1}{2}\left(\ln\left(\sqrt{x^2 + 3} - x\right)\right)\Big\vert{}_{-1}^1 = \frac{\ln 3}{2}$ .

để xem lời giải của câu hỏi này

Câu hỏi cùng chủ đề

Chưa có câu hỏi